Inwersja dla grupy najstarszej

1. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach A i B. Okr_{}egi o_{3} i o_{4} s _{}a styczne do o_{1} i o_{2} zewn_{}etrznie odpowiednio w punktach: o_{3} do o_{1} w K, o_{3} do o_{2} w L, o_{4} do o_{1} w M zaś o_{4} do o_{2} w N. Pokaźać, że okr_{}egi opisane na trójk _{}atach KLA i MNA s _{}a styczne.

2. Okr _{}ag γ, wpisany w trójk _{}at ABC styczny jest do boków AC i BC odpowiednio w punktach E i F. Prosta EF przecina dwusieczn _{}a k _{}ata BAC w punkcie P. Pokazać, że ∠AP B = 90^{∘}.

3. Sfery γ i Γ s _{}a do siebie styczne wewn_{}etrznie. Sfera β jest styczna do γ zewn_{}etrznie i do Γ wewn_{}etrznie. Sfery α_{1}, α_{2}, …, α_{6} s _{}a styczne do γ i do β zewn_{}etrznie i do Γ wewn_{}etrznie, a ponadto α_{1} jest styczna do α_{2},α_{2} jest styczna do α_{3} itd. aż α_{5} jest styczna do α_{6}. Pokazać, że α_{1} jest styczna do α_{6}.

4. Okr _{}ag α o średnicy AB jest styczny wewn_{}etrznie do okr_{}egów ϕ, ψ o średnicach AC i BC odpowiednio, przy czym C leży na odcinku AB. Rodzina okr_{}egów γ_{0}, γ_{1}, γ_{2}, … o środkach O_{0}, O_{1}, O_{2}, … spełnia nast_{}epuj _{}ace warunki:

a. γ_{0} = ψ

b. γ_{i} jest styczny wewn_{}etrznie do α oraz zewn_{}etrznie do ϕ i γ_{i−1} dla i 1

Niech h_{i} oznacza odległość O_{i} od prostej AB. Pokazać, że dla każdego i zachodzi:

\frac{h}{r_{i}} = 2i

5. Proste k i l przecinaj _{}a si_{}e w P i s _{}a do siebie prostopadłe. Okr_{}egi o_{1} i o_{3} s _{}a styczne do siebie i do k w P. Okr_{}egi o_{2} i o_{4} s _{}a styczne do siebie i do l w P. drugimi punktami przeci_{}ecia par okr_{}egów: o_{1} i o_{2}, o_{2} i o_{3}, o_{3} i o_{4} oraz o_{4} i o_{1} s _{}a opdowiednio punkty K,L,M,N. Pokazać, że leż _{}a one na jednym okr_{}egu.