Indukcja

15.10.2008

1. Wykazać, że dla każdego n∈ ℕ zachodzi

\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + … + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2 ( \sqrt{n + 1} − 1) .

2. Wykazać, że dla dowolnych dodatnich liczb x, y nierówność 2^{n−1} (x^{n} + y^{n}) (x + y)^{n} jest spełniona dla wszystkich liczb naturalnych n.

3. Wykazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n^{2}+n+1 dzieli liczbę n^{k+2} +(n+1)^{2k+1} dla wszystkich naturalnych k.

4. Dowieść, że obszary wyznaczone na płaszczyźnie przez n prostych można pomalować dwoma kolorami tak, aby żadne dwa obszary tego samego koloru nie miały wspólnego boku.

5. Udowodnić indukcyjnie nierówność między średni _{}a arytmetyczn _{}a, a kwadratow _{}a:

\sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + … + a_{n}^{2}}{n}} \frac{a_{1} + a_{2} + … + a_{n}}{n} .

6. Niech a_{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + … + \frac{1}{2n}. Wykazać, że dla każdego n∈ ℕ a_{n} \frac{13}{24}.

7. Niech a_{n} będzie takim ci _{}agiem, ze a_{1} = 1 oraz dla n 1 a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} . Pokazać, że 14 < a_{100} < 18.