Indonezja

28.01.2010

1. Niech x_{1}, x_{2}, …, x_{n} będ _{}a większymi od 1 liczbami rzeczywistymi. Wykazać, że zachodzi nierówność:

\frac{x_{1}x_{2}}{x_{3} − 1} + \frac{x_{2}x_{3}}{x_{4} − 1} + \frac{x_{3}x_{4}}{x_{5} − 1} + ⋯+ \frac{x_{n}x_{1}}{x_{2} − 1} ⩾ 4n.

2. W (x) = a_{2n}x^{2n} +a_{2n−1} x^{2n−1} +⋯ +a_{1}x+a_{0}, gdzie a_{2n} ≠ 0 i a_{2n−i} = a_{i} dla i = 0, 1, 2, …, n. Wykazać, że istnieje taki wielomian Q stopnia n, że W (x) = Q(x + \frac{1}{x}) · x^{n}.

3. Punkty P i Q s _{}a odpowiednio środkami boków AD i BC prostok _{}ata ABCD. R jest takim punktem na półprostej DC, że DR > DC, a X to punkt przecięcia prostych RQ i DB. Wykazać, że ∠QP C = ∠QP B.

4. Dane s _{}a takie liczby rzeczywiste x, y, z, że x^{3} + y^{3} + z^{3} − 3xyz = 1. Znaleźć najmniejsz _{}a wartość wyrażenia x^{2} + y^{2} + z^{2}.