Klasówka

grupa pierwszoklasistów sobota, 30 września 2006

51. Pokazać, że dla p > 3 zachodzi 43|7^{p} − 6^{p} − 1, gdzie p jest pierwsze.

52. Rozstrzygnij czy szachownic_{}e 6 × 6 da si_{}e pokryć klockami domina tak, aby każda z 10 linii dziel _{}acych kratki była przeci_{}eta przez co najmniej jedno domino.

53. Pokazać, że suma dwóch kolejnych liczb pierwszych nieparzystych jest iloczynem co najmniej trzech (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych.

54. Wielomian P (x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, ale wielomian P (Q(x)), gdzie Q(x) = x^{2}+x+2006 nie ma żadnego pierwiastka rzeczywistego. Pokazać, że P (2006) > \frac{1}{64}.

55. W ci _{}agach liczb dodatnich (a_{1}, a_{2}, …, a_{6000000}), (b_{1}, b_{2}, …, b_{6000000}), (c_{1}, c_{2}, …, c_{6000000}) wszystkie wyrazy s _{}a mniejsze lub równe od 99. Pokazać, że istniej _{}a takie dwa różne indeksy k, l, że |a_{k} − a_{l}| + |b_{k} − b_{l}| + |c_{k} − c_{l}| < 1.

56. AB i CD s _{}a prostopadłymi średnicami okr_{}egu ω. Punkt M leży poza okr_{}egiem, proste MC i MD przecinaj _{}a prost _{}a AB w punktach E i F. Styczne do okr_{}egu poprowadzone przez M przecinaj _{}a prost _{}a AB w punktach G i H. Udowodnij, że GE = F H.

57. W trójk _{}acie ABC punkt M jest środkiem boku AB, a punkt D spodkiem wysokości opuszczonej na AB. Punkty K i L s _{}a odpowiednio rzutami prostopadłymi A i B na dwusieczn _{}a k _{}ata C. Udowodnij, że punkty D, K, L, M leża na jednym okr_{}egu.

Klasówka

grupa młodsza sobota, 30 września 2006

54. Wielomian P (x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, ale wielomian P (Q(x)), gdzie Q(x) = x^{2}+x+2006 nie ma żadnego pierwiastka rzeczywistego. Pokazać, że P (2006) > \frac{1}{64}.

56. AB i CD s _{}a prostopadłymi średnicami okr_{}egu ω. Punkt M leży poza okr_{}egiem, proste MC i MD przecinaj _{}a prost _{}a AB w punktach E i F. Styczne do okr_{}egu poprowadzone przez M przecinaj _{}a prost _{}a AB w punktach G i H. Udowodnij, że GE = F H.

57. W trójk _{}acie ABC punkt M jest środkiem boku AB, a punkt D spodkiem wysokości opuszczonej na AB. Punkty K i L s _{}a odpowiednio rzutami prostopadłymi A i B na dwusieczn _{}a k _{}ata C. Udowodnij, że punkty D, K, L, M leż _{}a na jednym okr_{}egu.

58. Pokazać, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych z których środkowa jest sześcianem liczby całkowitej jest podzielny przez 504.

59. Udowodnić, że dla liczb dodatnich x, y, z zachodzi:

(x + y)(y + z)(z + x) 8(x + y − z)(x − y + z)(−x + y + z)

510. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym nierównoramiennym ABC punkt D jest spodkiem wysokości spuszczonej z A, zaś E i F to rzuty punktu D na proste AB i AC odpowiednio. Punkt K jest punktem symetrycznym do A wzgl_{}edem środka okr_{}egu opisanego na ABC, zaś L jest punktem przeci_{}ecia prostych EF i BC. Pokazać, że DK ⊥ AL.

511. Onufry i Joasia maj _{}a do dyspozycji prostok _{}atny kawałek czekolady o wierzchołkach (0, 0),(0, n),(m, n),(m, 0). Ruch polega na zjedzeniu wszystkich niezjedzonych kostek należ _{}acych do prostok _{}ata (0, 0), (0, k),(l, k),(l, 0). W każdym ruchu musi być zjedzona co najmniej jedna kostka. Gr_{}e zaczyna Joasia, przegrywa ten gracz, który zje ostatni _{}a kostk_{}e. Który gracz ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a?

Klasówka

grupa starsza sobota, 30 września 2006

510. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym nierównoramiennym ABC punkt D jest spodkiem wysokości spuszczonej z A, zaś E i F to rzuty punktu D na proste AB i AC odpowiednio. Punkt K jest punktem symetrycznym do A wzgl_{}edem środka okr_{}egu opisanego na ABC, zaś L jest punktem przeci_{}ecia prostych EF i BC. Pokazać, że DK ⊥ AL.

511. Onufry i Joasia maj _{}a do dyspozycji prostok _{}atny kawałek czekolady o wierzchołkach (0, 0),(0, n),(m, n),(m, 0). Ruch polega na zjedzeniu wszystkich niezjedzonych kostek należ _{}acych do prostok _{}ata (0, 0), (0, k),(l, k),(l, 0). W każdym ruchu musi być zjedzona co najmniej jedna kostka. Gr_{}e zaczyna Joasia, przegrywa ten gracz, który zje ostatni _{}a kostk_{}e. Który gracz ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a?

512. Ci _{}ag par liczb naturalnych (a_{n}, b_{n}) definiujemy nast_{}epuj _{}aco:

(a_{n+1} , b_{n+1} ) = \{ \begin{matrix}(2a_{n}, b_{n} − a_{n}) dla a_{n} b_{n} \\ (a_{n} − b_{n}, 2b_{n}) dla a_{n} > b_{n} \end{matrix}

Znaleźć wszystkie pary liczb (a_{0}, b_{0}) dla których jedna z liczb a_{n} lub b_{n} jest zerem.

513. Siatka ulic Hofmanville to układ skrzyżowań poł _{}aczonych dwukierunkowymi drogami. W okresie remontu dróg, na cz_{}eści ulic wprowadzono ruch jednokierunkowy. Po pewnym czasie przywrócono na tych ulicach ruch dwukierunkowy, ale wprowadzono ruch jednokierunkowy na wszystkich pozostałych ulicach. W obu przypadkach dało si_{}e dojechać z każdego skrzyżowania do każdego innego. Czy w tym mieście można wprowadzić na wszystkich ulicach ruch jednokierunkowy zachowuj _{}ac t_{}e własność?

514. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC punkt H jest ortocentrum. Pokazać, że:

\frac{AH}{BC} + \frac{BH}{CA} + \frac{CH}{AB} \sqrt{3}

.

515. Wielomian W jest postaci W (x) = x^{n} + nx^{n−1} + a_{n−2} x^{n−2} + …+ a_{1}x + a_{0} oraz posiada n pierwiastków rzeczywistych x_{1}, x_{2}, …, x_{n}. Wiadomo, że ∑ _{i=1}^{n} x_{i}^{16} = n. Znaleźć liczby x_{1}, …, x_{n}.

516. Obliczyć:

∑_{n=1}^{150} \frac{k + 4}{k · (k + 1) · (k + 2) · (k + 3)}

Klasówka

grupa najstarsza sobota, 30 września 2006

55. W ci _{}agach liczb dodatnich (a_{1}, a_{2}, …, a_{6000000}), (b_{1}, b_{2}, …, b_{6000000}), (c_{1}, c_{2}, …, c_{6000000}) wszystkie wyrazy s _{}a mniejsze lub równe od 99. Pokazać, że istniej _{}a takie dwa różne indeksy k, l, że |a_{k} − a_{l}| + |b_{k} − b_{l}| + |c_{k} − c_{l}| < 1.

513. Siatka ulic Hofmanville to układ skrzyżowań poł _{}aczonych dwukierunkowymi drogami. W okresie remontu dróg, na cz_{}eści ulic wprowadzono ruch jednokierunkowy. Po pewnym czasie przywrócono na tych ulicach ruch dwukierunkowy, ale wprowadzono ruch jednokierunkowy na wszystkich pozostałych ulicach. W obu przypadkach dało si_{}e dojechać z każdego skrzyżowania do każdego innego. Czy w tym mieście można wprowadzić na wszystkich ulicach ruch jednokierunkowy zachowuj _{}ac t_{}e własność?

516. Obliczyć:

∑_{n=1}^{150} \frac{k + 4}{k · (k + 1) · (k + 2) · (k + 3)}

517. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje taki pi_{}eciok _{}at wypukły A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5} by jeśli oznaczyć przez B_{i} przeci_{}ecia prostych A_{i+1} A_{i+4} oraz A_{i+2} A_{i+3} to punkty B_{i} istniej _{}a i leż _{}a na jednej prostej (numerowanie zachodzi cyklicznie).

518. Czy istnieje funkcja ci _{}agła f : ℝ ↦ ℝ taka, że dla dowolnego x rzeczywistego f(f(x)) = 4^{−x} .

519. Pokazać, że jeśli umieścimy n punktów wewn _{}atrz okr_{}egu o promieniu 1 to suma kwadratów odległości pomi_{}edzy każdymi dwoma jest równa co najwyżej n^{2}.

520. Rozstrzygn _{}ać, czy układ równań:

\{ \begin{matrix}a + b = c − 5 \\ ab = −c^{2} \end{matrix}

ma nieskończenie wiele rozwi _{}azań w liczbach całkowitych a, b, c.