Zadania - dzień trzeci

grupa pierwszoklasistów czwartek, 28 września 2006

41. Dany jest trójk _{}at ABC o k _{}atach odpowiednio 20^{∘}, 50^{∘}, 110^{∘}. Punkt D leży na boku AC i punkt E leży na boku AB. K _{}at ∠ACE jest równy 30^{∘}. K _{}at ∠DBA jest równy 20^{∘}. Obliczyć ∠DEC.

42. Niech S(n) b_{}edzie sum _{}a cyfr liczby n. Dowieść, że wśród 18 kolejnych liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba k, dla której S(k)|k.

43. Pokazać, że wśrod 100 kolejnych wyrazów ci _{}agu a_{n} = n^{8} + n^{6} + n^{4} + n^{2} + 1 jest conajmniej 86 liczb złożonych.

44. W talii jest n ponumerowanych kart. Jeśli pierwsza karta od góry ma numer k, szuler podnosi pierwsyzch k kart, ł _{}acznie z t _{}a kart _{}a i kładzie je na wierzchu w odwróconej kolejności. Nast_{}epnie sprawdza pierwsz _{}a kart_{}e od góry itd. Udowodnij, że po skończonej ilości ruchów karta 1 trafi na wierzch.

45. W sześciok _{}acie wypukłym A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6} oznaczmy przez G_{i} środek ci_{}eżkości trójk _{}ata A_{i−1} A_{i}A_{i+1} dla i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, gdzie A_{0} = A_{6} i A_{7} = A_{1}. Pokazać, że proste G_{1}G_{4}, G_{2}G_{5} i G_{3}G_{6} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

Zadania - dzień trzeci

grupa młodsza czwartek, 28 września 2006

41. Dany jest trójk _{}at ABC o k _{}atach odpowiednio 20^{∘}, 50^{∘}, 110^{∘}. Punkt D leży na boku AC i punkt E leży na boku AB. K _{}at ∠ACE jest równy 30^{∘}. K _{}at ∠DBA jest równy 20^{∘}. Obliczyć ∠DEC.

43. Pokazać, że wśrod 100 kolejnych wyrazów ci _{}agu a_{n} = n^{8} + n^{6} + n^{4} + n^{2} + 1 jest conajmniej 86 liczb złożonych.

44. W sześciok _{}acie wypukłym A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6} oznaczmy przez G_{i} środek ci_{}eżkości trójk _{}ata A_{i−1} A_{i}A_{i+1} dla i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, gdzie A_{0} = A_{6} i A_{7} = A_{1}. Pokazać, że proste G_{1}G_{4}, G_{2}G_{5} i G_{3}G_{6} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

45. W talii jest n ponumerowanych kart. Jeśli pierwsza karta od góry ma numer k, szuler podnosi pierwszych k kart, ł _{}acznie z t _{}a kart _{}a i kładzie je na wierzchu w odwróconej kolejności. Nast_{}epnie sprawdza pierwsz _{}a kart_{}e od góry itd. Udowodnij, że po skończonej ilości ruchów karta 1 trafi na wierzch.

46. x, y, z s _{}a dodatnie i spełniaj _{}a równanie

\frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{z} + \frac{z^{2}}{x} = \frac{x^{2}}{z} + \frac{z^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x}

Pokazać, że co najmniej dwie spośród liczb x, y, z s _{}a równe.

Zadania - dzień trzeci

grupa starsza czwartek, 28 września 2006

41. Dany jest trójk _{}at ABC o k _{}atach odpowiednio 20^{∘}, 50^{∘}, 110^{∘}. Punkt D leży na boku AC i punkt E leży na boku AB. K _{}at ∠ACE jest równy 30^{∘}. K _{}at ∠DBA jest równy 20^{∘}. Obliczyć ∠DEC. You’re requested to make a sinus trial ; )

43. Pokazać, że wśrod 100 kolejnych wyrazów ci _{}agu a_{n} = n^{8} + n^{6} + n^{4} + n^{2} + 1 jest conajmniej 86 liczb złożonych.

46. x, y, z s _{}a dodatnie i spełniaj _{}a równanie

\frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{z} + \frac{z^{2}}{x} = \frac{x^{2}}{z} + \frac{z^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x}

Pokazać, że co najmniej dwie spośród liczb x, y, z s _{}a równe.

47. Sześciok _{}at A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6} wpisany jest w okr _{}ag. Oznaczmy przez H_{i} ortocentrum trójk _{}ata A_{i−1} A_{i}A_{i+1} dla i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, gdzie A_{0} = A_{6} i A_{7} = A_{1}. Pokazać, że proste H_{1}H_{4}, H_{2}H_{5} i H_{3}H_{6} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

48. Znaleźć wszystkie a > 1 takie, że dla każdej funkcji ci _{}agłej f(x) spełniaj _{}acej f(0) = f(a) istnieje taki x, że f(x) = f(x + 1).

Zadania - dzień trzeci

grupa najstarsza czwartek, 28 września 2006

41. Dany jest trójk _{}at ABC o k _{}atach odpowiednio 20^{∘}, 50^{∘}, 110^{∘}. Punkt D leży na boku AC i punkt E leży na boku AB. K _{}at ∠ACE jest równy 30^{∘}. K _{}at ∠DBA jest równy 20^{∘}. Obliczyć ∠DEC. You’re requested to make a sinus trial ; )

43. Pokazać, że wśrod 100 kolejnych wyrazów ci _{}agu a_{n} = n^{8} + n^{6} + n^{4} + n^{2} + 1 jest conajmniej 86 liczb złożonych.

47. Sześciok _{}at A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6} wpisany jest w okr _{}ag. Oznaczmy przez H_{i} ortocentrum trójk _{}ata A_{i−1} A_{i}A_{i+1} dla i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, gdzie A_{0} = A_{6} i A_{7} = A_{1}. Pokazać, że proste H_{1}H_{4}, H_{2}H_{5} i H_{3}H_{6} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

48. Znaleźć wszystkie a > 1 takie, że dla każdej funkcji ci _{}agłej f(x) spełniaj _{}acej f(0) = f(a) istnieje taki x, że f(x) = f(x + 1).

49. Niech n b_{}edzie liczb _{}a parzyst _{}a. Zbiór S = {a : n|a^{a−1} − 1}. Pokazać, że jeśli S = {n − 1} to n = 2p gdzie p jest liczb _{}a pierwsz _{}a.

410. Dowieść, że dla liczb dodatnich a,b,c, zachodzi nierówność

\frac{a + \sqrt{ab}+ \sqrt[3]{abc}}{3} \sqrt[3]{a · \frac{a + b}{2} · \frac{a + b + c}{3}}