Zadania - dzień drugi

grupa pierwszoklasistów wtorek, 26 września 2006

21. Niech s_{n} b_{}edzie sum _{}a n kolejnych liczb pierwszych poczynaj _{}ac od 2. Pokazać, że pomi_{}edzy s_{n} a s_{n+1} istnieje kwadrat liczby całkowitej.

22. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych x, y takich, że liczby 2x+y,3x−2y,11x+9y s _{}a kwadratami liczb całkowitych.

23. W trójk _{}acie ABC punkt M jest środkiem boku AB, N środkiem boku AC, O środkiem okr_{}egu opisanego oraz I środkiem okr_{}egu wpisanego. Pokazać, że punkty M, O, N, I, A leż _{}a na jednym okr_{}egu wtedy i tylko wtedy, gdy długość boku BC jest średni _{}a arytmetyczn _{}a długości boków AB i AC.

24. W czworościanie ABCD k _{}aty przy wierzchołku D s _{}a proste. Ponadto |AD| = 4, |BD| = 7, |CD| = 11. Znaleźć sum_{}e k _{}atów przy wierzchołku C.

25. Wojtek pisze na tablicy ci _{}ag liczb całkowitych należ _{}acych do przedziału od 1 do 541 tak, aby pomi_{}edzy każdymi dwoma liczbami równymi w ci _{}agu wyst_{}epowała liczba od nich mniejsza. Ile co najwyżej liczb może napisać Wojtek?

Zadania - dzień drugi

grupa młodsza wtorek, 26 września 2006

22. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych x, y takich, że liczby 2x+y,3x−2y,11x+9y s _{}a kwadratami liczb całkowitych.

23. W trójk _{}acie ABC punkt M jest środkiem boku AB, N środkiem boku AC, O środkiem okr_{}egu opisanego oraz I środkiem okr_{}egu wpisanego. Pokazać, że punkty M, O, N, I, A leż _{}a na jednym okr_{}egu wtedy i tylko wtedy, gdy długość boku BC jest średni _{}a arytmetyczn _{}a długości boków AB i AC.

24. W czworościanie ABCD k _{}aty przy wierzchołku D s _{}a proste. Ponadto |AD| = 4, |BD| = 7, |CD| = 11. Znaleźć sum_{}e k _{}atów przy wierzchołku C.

25. Wojtek pisze na tablicy ci _{}ag liczb całkowitych należ _{}acych do przedziału od 1 do 541 tak, aby pomi_{}edzy każdymi dwoma liczbami równymi w ci _{}agu wyst_{}epowała liczba od nich mniejsza. Ile co najwyżej liczb może napisać Wojtek?

26. Znaleźć wszystkie trójki liczb pierwszych p, q, r takich, że p|qr − 1, q|pr − 1 i r|pq − 1.

Zadania - dzień drugi

grupa starsza wtorek, 26 września 2006

22. Znaleźć wszystkie pary liczb rzeczywistych x, y takich, że liczby 2x+y,3x−2y,11x+ 9y s _{}a kwadratami liczb całkowitych.

23. W trójk _{}acie ABC punkt M jest środkiem boku AB, N środkiem boku AC, O środkiem okr_{}egu opisanego oraz I środkiem okr_{}egu wpisanego. Pokazać, że punkty M, O, N, I, A leż _{}a na jednym okr_{}egu wtedy i tylko wtedy, gdy długość boku BC jest średni _{}a arytmetyczn _{}a długości boków AB i AC.

24. W czworościanie ABCD k _{}aty przy wierzchołku D s _{}a proste. Ponadto |AD| = 4, |BD| = 7, |CD| = 11. Znaleźć sum_{}e k _{}atów przy wierzchołku C.

26. Znaleźć wszystkie trójki liczb pierwszych p, q, r takich, że p|qr − 1, q|pr − 1 i r|pq − 1.

27. W wypukłym 2004-k _{}acie żadna trójka przek _{}atnych nie przecina si_{}e w jednym punkcie. Każd _{}a z przek _{}atnych (ale nie boków) pomalowano na jeden z 1001 kolorów. Pokazać, że istnieje trójk _{}at, którego wierzchołkami s _{}a wierzchołki 2004-k _{}ata b _{}adź punkty przeci_{}ecia jego przek _{}atnych, maj _{}acy wszystkie 3 boki tego samego koloru.

28. Gópi Stach zaprosił na imprez_{}e 2n kumpli, wi_{}ec w sumie było na niej 2n + 1 ludzi. Okazało si_{}e, że dla każdej grupy n imprezowiczów istnieje imprezowicz spoza tej grupy, który zna wszystkich członków grupy (jeżeli imprezowicz A zna B, to B zna A). Pokazać, że istnieje imprezowicz znaj _{}acy wszystkich bawi _{}acych si_{}e u Stacha.

Zadania - dzień drugi

grupa najstarsza wtorek, 26 września 2006

24. W czworościanie ABCD k _{}aty przy wierzchołku D s _{}a proste. Ponadto |AD| = 4, |BD| = 7, |CD| = 11. Znaleźć sum_{}e k _{}atów przy wierzchołku C.

26. Znaleźć wszystkie trójki liczb pierwszych p, q, r takich, że p|qr − 1, q|pr − 1 i r|pq − 1.

27. W wypukłym 2004-k _{}acie żadna trójka przek _{}atnych nie przecina si_{}e w jednym punkcie. Każd _{}a z przek _{}atnych (ale nie boków) pomalowano na jeden z 1001 kolorów. Pokazać, że istnieje trójk _{}at, którego wierzchołkami s _{}a wierzchołki 2004-k _{}ata b _{}adź punkty przeci_{}ecia jego przek _{}atnych, maj _{}acy wszystkie 3 boki tego samego koloru.

28. Gópi Stach zaprosił na imprez_{}e 2n kumpli, wi_{}ec w sumie było na niej 2n + 1 ludzi. Okazało si_{}e, że dla każdej grupy n imprezowiczów istnieje imprezowicz spoza tej grupy, który zna wszystkich członków grupy (jeżeli imprezowicz A zna B, to B zna A). Pokazać, że istnieje imprezowicz znaj _{}acy wszystkich bawi _{}acych si_{}e u Stacha.

29. Znaleźć liczb_{}e ci _{}agów (a_{n})_{n=1}^{∞} liczb całkowitych takich, że a_{n} ≠ −1 oraz:

a_{n+2} = \frac{a_{n} + 2006}{a_{n+1} + 1}

Dla n całkowitych dodatnich.

210. Okr_{}egi C_{1} i C_{2} s _{}a styczne wewn_{}etrznie do okr_{}egu Γ odpowiednio w punktach B i C oraz do siebie zewn_{}etrznie w D. Jednym z punktów przeci_{}ecia ich wspólnej stycznej przechodz _{}aca przez D z okr_{}egiem Γ jest A. Prosta AB przecina C_{1} ponownie w K a prosta AC przecina C_{2} ponownie w L. Prosta BC przecina ponownie C_{1} w M i C_{2} w N. Pokazać, że proste AD,KM i LN s _{}a współp_{}ekowe.