Zadania - dzień pierwszy

grupa pierwszoklasistów poniedziałek, 25 września 2006

11. Liczb _{}a Grabowskiego nazywamy liczb_{}e składaj _{}ac _{}a si_{}e w zapisie dziesi_{}etnym z samych jedynek. Pokazać, że dla każdego k niepodzielnego ani przez 2 ani przez 5 istnieje liczba Grabowskiego podzielna przez k.

12. W ksi_{}estwie Hofmańskim jest dziesi_{}eć lotnisk, z każdego z nich do czterech innych odbywaj _{}a si_{}e loty. Ponadto z każdego lotniska da si_{}e dolecieć do każdego (być może odwiedzaj _{}ac inne lotniska). Pokazać, że jeśli odwołane zostały loty mi_{}edzy lotniskami A i B oraz pomi_{}edzy B i C, to nadal z każdego lotniska da si_{}e dolecieć do każdego.

13. Odcinek AB jest średnic _{}a okr_{}egu ω zaś punkt P jest zmiennym punktem na niej. Ci_{}eciwa CD przechodzi przez punkt P i jest nachylona pod k _{}atem 45^{∘} do prostej AB. Pokazać, że wartość wyrażenia CP^{2} + DP^{2} nie zależy od położenia punkt P.

14. Na płaszczyźnie rozmieszczono n > 2 punktów tak, że żadne trzy nie s _{}a współliniowe. Udowodnij, że istnieje taka trójka punktów P, Q, R, że ∠P QR < \frac{180^{∘}}{n−2} .

15. Pokazać, że dla dodatnich x, y, z zachodzi nierówność:

\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}} + \frac{z^{2}}{x^{2}} \frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}

Zadania - dzień pierwszy

grupa młodsza poniedziałek, 25 września 2006

12. W ksi_{}estwie Hofmańskim jest dziesi_{}eć lotnisk, z każdego z nich do czterech innych odbywaj _{}a si_{}e loty. Ponadto z każdego lotniska da si_{}e dolecieć do każdego (być może odwiedzaj _{}ac inne lotniska). Pokazać, że jeśli odwołane zostały loty mi_{}edzy lotniskami A i B oraz pomi_{}edzy B i C, to nadal z każdego lotniska da si_{}e dolecieć do każdego.

13. Odcinek AB jest średnic _{}a okr_{}egu ω zaś punkt P jest zmiennym punktem na niej. Ci_{}eciwa CD przechodzi przez punkt P i jest nachylona pod k _{}atem 45^{∘} do prostej AB. Pokazać, że wartość wyrażenia CP^{2} + DP^{2} nie zależy od położenia punkt P.

14. Na płaszczyźnie rozmieszczono n > 2 punktów tak, że żadne trzy nie s _{}a współliniowe. Udowodnij, że istnieje taka trójka punktów P, Q, R, że ∠P QR < \frac{180^{∘}}{n−2} .

15. Pokazać, że dla dodatnich x, y, z zachodzi nierówność:

\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}} + \frac{z^{2}}{x^{2}} \frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}

18. Kwadryg _{}a nazywamy iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych powi_{}ekszony o 1. Udowodnij, że iloczyn dwóch kolejnych kwadryg jest kwadryg _{}a.

Zadania - dzień pierwszy

grupa starsza poniedziałek, 25 września 2006

14. Na płaszczyźnie rozmieszczono n > 2 punktów tak, że żadne trzy nie s _{}a współliniowe. Udowodnij, że istnieje taka trójka punktów P, Q, R, że ∠P QR < \frac{180^{∘}}{n−2} .

15. Pokazać, że dla dodatnich x, y, z zachodzi nierówność:

\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}} + \frac{z^{2}}{x^{2}} \frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}

16. Niech a, b, c b_{}ed _{}a takimi liczbami rzeczywistymi dodatnimi, że a + b + c abc. Pokazać, że wówczas:

a^{2} + b^{2} + c^{2} \sqrt{3}abc

.

17. W trójk _{}acie równoramiennym ABC k _{}at C ma 100^{o}. Udowodnić, że wtedy:

|AB|^{3} + |BC|^{3} = 3|AB| · |BC|^{2}

18. Kwadryg _{}a nazywamy iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych powi_{}ekszony o 1. Udowodnij, że iloczyn dwóch kolejnych kwadryg jest kwadryg _{}a.

Zadania - dzień pierwszy

grupa najstarsza poniedziałek, 25 września 2006

15. Pokazać, że dla dodatnich x, y, z zachodzi nierówność:

\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}} + \frac{z^{2}}{x^{2}} \frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}

17. W trójk _{}acie równoramiennym ABC k _{}at C ma 100^{∘}. Udowodnić, że:

|AB|^{3} + |BC|^{3} = 3|AB| · |BC|^{2}

18. Kwadryg _{}a nazywamy iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych powi_{}ekszony o 1. Udowodnij, że iloczyn dwóch kolejnych kwadryg jest kwadryg _{}a.

19. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag, proste AB i CD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P, proste AD i BC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie R. Wykazać, że punkt przeci_{}ecia dwusiecznych k _{}atów ∠ARB i ∠BP C jest współliniowy ze środkami przek _{}atnych czworok _{}ata ABCD.

110. Niech a, b, c b_{}ed _{}a liczbami dodatnimi, takimi że abc = 1. Pokazać, że:

\frac{2}{(a + 1)^{2} + b^{2} + 1} + \frac{2}{(b + 1)^{2} + c^{2} + 1} + \frac{2}{(c + 1)^{2} + a^{2} + 1} 1

.