Zadania by night

grupa pierwszoklasistów niedziela, 24 września 2006

1. Rozstrzygn _{}ać, czy istniej _{}a takie dwie liczby k, l, że liczby 2^{k} i 2^{l} maj _{}a tak _{}a sam _{}a liczb_{}e cyfr oraz jedna powstaje poprzez permutacj_{}e (przemieszanie) cyfr drugiej.

2. Znaleźć wszystkie takie n naturalne, dla których n! jest podzielna przez sum_{}e liczb od 1 do n.

3. Odcinek AB jest średnic _{}a okr_{}egu ω, zaś punkt M jest środkiem łuku AB. Punkt C leży na krótszym łuku BM a D jest rzutem punktu M na odcinek AC. Pokazać, że AD = BC + CD.

4. Autobus wyrusza z przystanku nr 1 i kończy bieg na przystanku nr 12, gdzie wszyscy pasażerowie wysiadaj _{}a. Autobus ma 20 miejsc siedz _{}acych i tylko tyle osób może nim jechać. Jaka najwi_{}eksza liczba pasażerów może skorzystać z autobusu, jeśli każdy pasażer jechałby inny odcinek trasy?

Zadania by night

grupa młodsza niedziela, 24 września 2006

1. Rozstrzygn _{}ać, czy istniej _{}a takie dwie liczby k, l, że liczby 2^{k} i 2^{l} maj _{}a tak _{}a sam _{}a liczb_{}e cyfr oraz jedna powstaje poprzez permutacj_{}e (przemieszanie) cyfr drugiej.

3. Odcinek AB jest średnic _{}a okr_{}egu ω, zaś punkt M jest środkiem łuku AB. Punkt C leży na krótszym łuku BM a D jest rzutem punktu M na odcinek AC. Pokazać, że AD = BC + CD.

4. Autobus wyrusza z przystanku nr 1 i kończy bieg na przystanku nr 12, gdzie wszyscy pasażerowie wysiadaj _{}a. Autobus ma 20 miejsc siedz _{}acych i tylko tyle osób może nim jechać. Jaka najwi_{}eksza liczba pasażerów może skorzystać z autobusu, jeśli każdy pasażer jechałby inny odcinek trasy?

6. Dla trójk _{}ata ABC punkty K, L, M s _{}a odpowiednio środkami łuków okr_{}egu opisanego BC, CA, AB, które nie zawieraj _{}a pozostałego wierzchołka trójk _{}ata. Odcinki KL i KM przecinaj _{}a AC i AB odpowiednio w P i w Q. Pokazać, że P Q∥BC.

Zadania by night

grupa starsza niedziela, 24 września 2006

1. Rozstrzygn _{}ać, czy istniej _{}a takie dwie liczby k, l, że liczby 2^{k} i 2^{l} maj _{}a tak _{}a sam _{}a liczb_{}e cyfr oraz jedna powstaje poprzez permutacj_{}e (przemieszanie) cyfr drugiej.

2. Odcinek AB jest średnic _{}a okr_{}egu ω, zaś punkt M jest środkiem łuku AB. Punkt C leży na krótszym łuku BM a D jest rzutem punktu M na odcinek AC. Pokazać, że AD = BC + CD.

5. Liczby rzeczywiste a, b, c należ _{}a do przedziału (0, 1] oraz suma dowolnych dwóch z nich jest wi_{}eksza od 1. Pokazać, że zachodzi:

\frac{a}{b + c − 1} + \frac{b}{c + a − 1} + \frac{c}{a + b − 1} \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}

6. Dla trójk _{}ata ABC punkty K, L, M s _{}a odpowiednio środkami łuków okr_{}egu opisanego BC, CA, AB, które nie zawieraj _{}a pozostałego wierzchołka trójk _{}ata. Odcinki KL i KM przecinaj _{}a AC i AB odpowiednio w P i w Q. Pokazać, że P Q∥BC.

Zadania by night

grupa najstarsza niedziela, 24 września 2006

1. Rozstrzygn _{}ać, czy istniej _{}a takie dwie liczby k, l, że liczby 2^{k} i 2^{l} maj _{}a tak _{}a sam _{}a liczb_{}e cyfr oraz jedna powstaje poprzez permutacj_{}e (przemieszanie) cyfr drugiej.

5. Liczby rzeczywiste a, b, c należ _{}a do przedziału (0, 1] oraz suma dowolnych dwóch z nich jest wi_{}eksza od 1. Pokazać, że zachodzi:

\frac{a}{b + c − 1} + \frac{b}{c + a − 1} + \frac{c}{a + b − 1} \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}

6. Dla trójk _{}ata ABC punkty K, L, M s _{}a odpowiednio środkami łuków okr_{}egu opisanego BC, CA, AB, które nie zawieraj _{}a pozostałego wierzchołka trójk _{}ata. Odcinki KL i KM przecinaj _{}a AC i AB odpowiednio w P i w Q. Pokazać, że P Q∥BC.

7. Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej k istnieje liczba całkowita dodatnia n taka, że 2^{k}|3^{n} + 5.