Triki z innej beczki

1. Pokazać, że liczba ∑ _{n=0}^{10^{10}} \binom{2·10^{10}}{2n}5^{n} jest podzielna przez 2^{2·10^{10} −1} .

2. Pokazać, że dla każdego k całkowitego dodatniego istnieje takie m całkowite dodatnie, że liczby m, 2m, 3m, …, m^{2} maj _{}a dokładnie po k jedynek w zapisie binarnym.

3. W rombie okr _{}ag rozcina każdy z boków na 3 odcinki. Wszystkie 12 powstałych odcinków pokolorowano zgodnie z ruchem wskazówek zegara na biało, różowo i czarno, zaczynaj _{}ac od wierzchołka. Pokazać, że sumy długości odcinków białych i czarnych s _{}a równe.

4. Niech S(x) oznacza sum_{}e cyfr liczby x. Pokazać, że dla żadnego n liczba S(2n^{2} + 3) nie może być kwadratem liczby naturalnej.

5. Gópi Stach zaprosił swoich kumpli na przyj_{}ecie, w sumie razem z nim było na nim n 4 osób. Każdy z uczestników przyniósł przynajmniej jeden prezent i obdarował nim kogoś innego. Okazało si_{}e, że każdy z przyjezdnych dał trzy razy wi_{}ecej prezentów niż sam uzyskał, ale Stach dostał sześć razy wi_{}ecej prezentów niż dał. Wyznaczyć w zależności od n najmniejsz _{}a liczb_{}e prezentów, jakie Stach mógł dostać.

6. Niech f(n) oznacza ostatni _{}a cyfr_{}e liczby n. Oznaczmy przez a_{i} ci _{}ag określony nast_{}epuj _{}acymi warunkami:

• a_{0} = x

• a_{i} = a_{i−1} + f(a_{i−1} ) dla i > 0

gdzie x jest liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a niepodzieln _{}a przez 5. Znaleźć wszystkie d całkowite dodatnie, dla których nieskończenie wiele wyrazów ci _{}agu dzieli si_{}e przez d.