Hong Kong

1. Pokazać, Że dla a, b, c rzeczywistych, takich że a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3 zachodzi:

\frac{1}{1 + ab} + \frac{1}{1 + bc} + \frac{1}{1 + ca} \frac{3}{2}

2. Suma cyfr liczby n wynosi 100, a liczby 44n wynosi 800. Ile wynosi suma cyfr liczby 3n?

3. Niech ABC b_{}edzie trójk _{}atem równoramiennym takim, że AB = AC. Punt D leży na BC oraz spełnia BD = 2CD, zaś punkt P leży na AE oraz spełnia ∠BAC = ∠BP D. Pokazać, że ∠BAC = 2∠CP D.

4. Rozwi _{}azać w liczbach całkowitych dodatnich x, k, n równanie:

3^{k} − 1 = x^{n}

5. Dla liczby całkowitej dodatniej n znaleźć liczb_{}e ci _{}agów składaj _{}acych si_{}e z liter a, b, c, w których litera a wyst_{}epuje parzyst _{}a liczb_{}e razy.

6. Niech M i N b_{}ed _{}a środkami boków AB i AC trójk _{}ata ABC. Prosta k przechodzi przez punkt A, zaś Q i R to odpowiednio rzuty punktów B i C na ni _{}a. Znaleźć miejsce geometryczne punktów przeci_{}ecia prostych QM i RN dla zmiennej prostej k.

7. Niech ci _{}ag a_{0}, a_{1}, …, a_{2n+1} b_{}edzie ściśle rosn _{}acym ci _{}agiem liczb rzeczywistych dodatnich. Pokazać, że zachodzi:

\sqrt[n]{a_{1}} − \sqrt[n]{a_{2}} + \sqrt[n]{a_{3}} − … − \sqrt[n]{a_{2n}} + \sqrt[n]{a_{2n+1}} < \sqrt[n]{a_{1} − a_{2} + a_{3} − … − a_{2n} + a_{2n+1}}