Kolorowanki i insze badziewia

1. Na bokach AB i AC trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC dobudowano do zewn _{}atrz prostok _{}aty ABKL i CAMN o równych polach. Punkt P jest środkiem odcinka KM, zaś O środkiem okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie ABC. Pokazać, że punkty P,A,O s _{}a współliniowe.

2. Dana jest liczba pierwsza p oraz takie liczby całkowite x, y, z, ze 0 < x < y < z < p. Wykazać, ze jeśli liczby x^{3}, y^{3}, z^{3} daj _{}a takie same reszty przy dzieleniu przez p, to liczba x^{2} + y^{2} + z^{2} jest podzielna przez x + y + z.

3. Punkt D leży na boku AB trójk _{}ata ABC. Niech I i J beda odpowiednio środkami okregów wpisanych w trójk _{}aty ACD i BCD. Okr _{}ag opisany na trójk _{}acie IJD przecina prost _{}a AB po raz drugi w punkcie S. Wykazać, że BC + AS = AC + BS.

4. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n 2 zachodzi nierówność:

\sqrt{2 · \sqrt[3]{3 · \sqrt[4]{4 · . . . \sqrt[n]{n}}}}< 2

.

5. Dany jest trójk _{}at o bokach długości a,b,c i polu F. Niech x,y i z bed _{}a odległościami środka ci_{}eżkości od wierzchołków. Udowodnić, ze zachodzi nierówność:

x + y + z \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2} + 2F \sqrt{3}}

.

6. Dany jest czworościan ABCD (niekoniecznie foremny) maj _{}acy nastepuj _{}ac _{}a własność: Istnieje sfera κ = κ(A, B, C), dla której:

(a) BC jest średnic _{}a okr_{}egu powstałego z przeci_{}ecia κ z płaszczyzn _{}a BCD

(b) AC jest średnic _{}a okr_{}egu powstałego z przeci_{}ecia κ z płaszczyzn _{}a ACD

(c) AB jest średnic _{}a okr_{}egu powstałego z przeci_{}ecia κ z płaszczyzn _{}a ABD

Udowodnić, że istniej _{}a sfery κ(A, B, D), κ(B, C, D) i κ(C, A, D) majace analogiczne własnosci do (a), (b) i (c).