Gry i inna kombinatoryka

1. Joasia i Onufry graj _{}a w gr_{}e: wybieraj _{}a liczb_{}e całkowit _{}a dodatni _{}a n i na przemian odejmuj _{}a od niej liczb_{}e od 1 do 9. Zaczyna Joasia, przegrywa gracz nie mog _{}acy wykonać ruchu (czyli ten, kto dostał 0). Dla jakich n Joasia, a dla jakich Onufry ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a?

2. Joasia i Onufry znowu graj _{}a w podobn _{}a gr_{}e, ale tym razem od liczby mog _{}a odj _{}ać 1, liczb_{}e pierwsz _{}a b _{}adź też iloczyn dwóch (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych dziel _{}acych obecn _{}a liczb_{}e. Zaczyna Joasia, przegrywa gracz nie mog _{}acy wykonać ruchu. Dla jakich n wygrywa Joasia, a dla jakich Onufry?

3. Joasia i Onufry graj _{}a w gr_{}e na okr _{}agłym stoliku o średnicy 1m kład _{}ac naprzemian monety o średnicy 1cm. Monety nie mog _{}a zachodzić na siebie, zaczyna Joasia, przegrywa nie mog _{}acy wykonać ruchu. Kto ma strategi_{}e?

4. Onufry z Joasi _{}a graj _{}a na nieskończonej szachownicy w gr_{}e. Naprzemian kład _{}a na szachownic_{}e swoje kamienie, Onufry wygrywa jeśli utworzy ze swoich kamieni kwadrat 2×2, Joasia chce mu przeszkodzić. Pokazać, że Joasia może grać tak, aby Onufry nigdy nie wygrał.

5. Onufry i Joasia graj _{}a w gr_{}e. Na płaszczyźnie s _{}a narysowane 2002 wektory. Zaczyna Joasia i gracze na przemian zabieraj _{}a ze zbioru narysowanych wektorów po jednym wektorze, aż do wyczerpania zapasów. Wygrywa ten, kto na końcu b_{}edzie miał dłuższ _{}a sum_{}e wybranych wektorów, a w przypadku równej długości ogłaszany jest remis. Rozstrzygn _{}ać, czy niezależnie od pocz _{}atkowego zbioru wektorów Joasia zawsze może nie przegrać z Onufrym.

6. Joasia i Onufry graj _{}a w gr_{}e na pocz _{}atku maj _{}a n słupków monet i w każdym ruchu gracze naprzemian zdejmuj _{}a dowoln _{}a liczb_{}e monet, ale tylko z jednego słupka. Rozstrzygn _{}ać, dla jakich wysokości słupków wygrywa zaczynaj _{}aca Joasia, a dla jakich Onufry, jeśli wygrywa gracz zdejmuj _{}acy ostatnie monety.

7. A co by było, gdyby mogli zdejmować z co najwyżej k różnych słupków?

8. Joasia i Onufry graj _{}a w gr_{}e na długiej planszy 1 × n. Na każdym polu planszy może stać kamień, ale co najwyżej jeden. W każdym ruchu gracz może dowolny kamień przesun _{}ac na wolne pole po prawej, albo przeskoczyć nim cał _{}a grup_{}e kolejno stoj _{}acych kamieni po prawej i usadowić na pierwszym wolnym polu dalej. Zaczyna Joasia, przegrywa gracz nie mog _{}acy wykonać ruchu. Dla jakich ustawień kamieni kto ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a?

9. Joasia z Onufrym graj _{}a w gr_{}e na szachownicy złożonej z n wierszy i m kolumn. Na pocz _{}atku w każdym wierszu jest ustawiony pionek Joasi i pionek Onufrego, przy czym Joasi leży na lewo od Onufrego. W każdym ruchu gracze naprzemian przesuwaj _{}a wybrany ze swoich pionków ale tylko w jego rz_{}edzie, nie mog _{}a przy tym przeskakiwać pionka przeciwnika. Zaczyna Joasia. Dla jakich ustawień pocz _{}atkowych pionków Joasia, a dla jakich Onufry ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a?