Wektorki i inne

1. Sfery γ_{1} i γ_{2} s _{}a styczne do siebie zewn_{}etrznie i obie wewn_{}etrznie do sfery Γ. Sfery α_{1}, α_{2}, …, α_{n} s _{}a styczne do Γ,γ_{1},γ_{2} oraz każda do nast_{}epnej i poprzedniej w ci _{}agu (rozumianym cyklicznie). Pokazać, że n = 6.

2. Okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach X i Y oraz s _{}a styczne wewn_{}etrznie do okr_{}egu Ω w punktach P i Q odpowiednio. Prosta k jest styczna do ω_{1} w A i do ω_{2} w B przy czym oba te okr_{}egi leż _{}a po tej samej stronie prostej k. Pokazać, że proste XY, P A i QB przecinaj _{}a si_{}e na okr_{}egu Ω.

3. Cztery proste na płaszczyźnie tworz _{}a cztery trójk _{}aty. Pokazać, że okr_{}egi opisane na tych trójk _{}atach przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

4. Pokazać, że środki okr_{}egów z zadania 3 leż _{}a na jednym okr_{}egu.

5. Punkty Q i R leż _{}a na okr_{}egu γ. Punkt P jest przeci_{}eciem stycznych do okr_{}egu przechodz _{}acych przez Q i R. Punkt A leży na przedłużeniu P Q bliżej Q niż P. Okr_{}eg opisany na trójk _{}acie AP R przecina okr _{}ag γ w punkcie B, zaś prosta AR przecina γ w C. Pokazać, że ∠P AR = ∠ABC.

6. Trójk _{}at ABC ma k _{}at prosty przy wierzchołku C. Dwusieczne k _{}atów przy wierzchołkach A i B przecinaj _{}a boki BC i AC odpowiednio w P i Q. Niech M i N b_{}ed _{}a rzutami prostopadłymi odpowiednio P i Q na AB. Znaleźć miar_{}e k _{}ata ∠MCN.

7. Okr_{}egi C_{1} i C_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach M i N, zaś ich wspólna styczna jest do nich styczna w punktach P i Q odpowiednio, gdzie prosta P Q jest bliżej punktu N niż M. Prosta P N przecina okr _{}ag C_{2} w punktach N i R. Pokazać, że prosta MQ jest dwusieczn _{}a k _{}ata P MR.