KÓŁECZKO Z RÓŻNEJ GEOMETRII (30.04.08)

1. Dany jest trójk _{}at ostrok _{}atny ABC. Prosta przechodz _{}aca przez punkt B i prostopadła do prostej AC przecina okr _{}ag o średnicy AC w punktach K i L. Prosta przechodz _{}aca przez punkt A i prostopadła do prostej BC przecina okr _{}ag o średnicy BC w punktach M i N. Wykazać, że punkty K, L, M i N leż _{}a na jednym okr_{}egu.

2. Punkt K i L leż _{}a odpowiednio na bokach BC i CD równoległoboku ABCD, przy czym BK = DL. Odcinki DK i BL przecinaj _{}a s_{}e w punkcie P. Dowieść, że półprosta AP jest dwusieczn _{}a k _{}ata BAD.

3. Z punktu P leż _{}acego na zewn _{}atrz okr_{}egu o środku O poprowadzono styczne P A i P B. Prosta przechodz _{}aca przez środek odcinka AB przecina dany okr _{}ag w punktach C i D. Dowieść, że ∠AP C = ∠DP B.

4. Dany jest trójk _{}at ABC, w którym AC = BC. Punkt D jest środkiem boku AB, a punkt E jest rzutem prostok _{}atnym punktu D na prost _{}a BC. Punkt M jest środkiem odcinka DE. Dowieść, że proste AE i CM s _{}a prostopadłe.

5. Punkt F leży na boku DE pi_{}eciok _{}ata wypukłego ABCDE, przy czym ∠F AC = ∠DBC oraz ∠F CA = ∠EBA. Wykazać, że ∠BAE + ∠BCD = 180^{∘}.

6. Dany jest trójk _{}at ostrok _{}atny ABC. Punkty D i E s _{}a rzutami prostok _{}atnymi punktów A i B odpowiednio na proste BC i CA. Punkty P i Q s _{}a rzutami prostok _{}atnymi odpowiednio punktów A i B na prost _{}a DE. Dowieść, że P E = DQ.

7. Punkty P i Q leż _{}a na bokach BC i CD rombu ABCD, przy czym prosta P Q jest styczna do okr_{}egu o wpisanego w dany romb. Niech K b_{}edzie punktem styczności okr_{}egu o z odcinkiem AB. Dowieść, że proste KP i AQ s _{}a równoległe.