KÓŁECZKO Z RÓŻNEJ GEOMETRII (28.11.06)

1. TEORIA

1.1. Aby rozwi _{}azać zadanie, należy:

- przeczytać treść zadania

- jeszcze raz przeczytać treść zadania

- przemyśleć treść zadania

- przeczytać treść zadania i sprawdzić, czy dobrze si_{}e rozumie

- rozwi _{}azać zadanie

- przeczytać treść i sprawdzić, czy si_{}e rozwiazało to, co trzeba

1.2. Gdy nie wiesz, co zrobić - dorysuj równoległobok.

1.3. Jeśli nic nie widzisz na rysunku, dorysuj kolejn _{}a kresk_{}e.

1.4. Gdy inni nic nie widz _{}a na rysunku - użyj kredek :)

2.ZADANKA

2.1. Niech o b_{}edzie okr_{}egiem opisanym na trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC, zaś I środkiem okr_{}egu wpisanego w ten trójk _{}at. Półprosta AI przecina okr _{}ag o ponownie w punkcie D. Wykazać, że BD = CD = ID.

2.2. Niech H b_{}edzie ortocentrum w trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC, zaś H′ - jego odbiciem wzgl_{}edem AB. Wykazać, że H′ leży na okr_{}egu opisanym na ABC.

2.3. Wykazać, że w dowolnym trójk _{}acie środki boków, spodki wysokości i środki odcinków ł _{}acz _{}acych ortocentrum z wierzchołkami trójk _{}ata leż _{}a na jednym okr_{}egu.

2.4. Udowodnić, że w dowolnym trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC istnieje dokładnie jeden punkt P taki, że ∠CAP = ∠ABP = ∠BCP.

2.5. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag. K, L, M, N s _{}a środkami okr_{}egów wpisanych w ABC, BCD, CDA, DAB. Wykazać, że KLMN jest prostok _{}atem.

2.6. Punkt I jest środkiem okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at ABC. Proste AI i BI przecinaj _{}a okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC odpowiednio w punktach P i Q, różnych od A i B. Punkt F jest takim punktem, że czworok _{}at CP F Q jest równoległobokiem. Dowieśc, że jeśli I ≠ F, to proste IC i IF s _{}a prostopadłe.

2.7. Punkt P należy do wn_{}etrza trójk _{}ata równobocznego ABC. Proste P A, P B i P C przecinaj _{}a boki tego trójk _{}ata odpowiednio w punktach D, E i F. Wykazać, że P D+P E+P F < AB.