Garść geometrii i innych zadań

1. Okr _{}ag O jest styczny do dwóch równoległych prostych l_{1} i l_{2}. Okr _{}ag O_{1} jest styczny do l_{1} w A i zewn_{}etrznie do O w C. Okr _{}ag O_{2} jest styczny do l_{2} w B, zewn_{}etrznie do O w D i do O_{1} w E. Proste AD i BC przecinaj _{}a si_{}e w Q. Pokazać, że Q jest środkiem okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie CDE.

2. Niech D b_{}edzie punktem wewn_{}etrznym boku BC trójk _{}ata ABC. Prosta AD przecina okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC w X. Niech P i Q b_{}ed _{}a rzutami X na proste AB i AC odpowiednio. Udowodnij, że prosta P Q jest styczna do okr_{}egu o średnicy XD wtedy i tylko wtedy, gdy AB = AC.

3. W trójk _{}acie ABC punkt D jest środkiem boku AB zaś E dzieli bok BC w stosunku 2 : 1. Zanjdź miar_{}e k _{}ata BAC jeśli k _{}aty ADC i BAE s _{}a przystaj _{}ace.

4. Wypukły czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag. Symetralne odcinków AB i AC przecinaj _{}a prost _{}a AD odpowiednio w punktach W,V nie leż _{}acych na odcinku AD, przy czym DV < AV i DW > AW. Proste BW i CV przecinaj _{}a si_{}e w T. Pokazać, że |BT − CT | = AD.

5. Spośród liczb od 1 do 100 wybrano 25 liczb. Pokazać, że jest wśrod nich podzbiór o iloczynie b_{}ed _{}acym kwadratem liczby całkowitej.

6. Dany jest zbiór A 1985 liczb całkowitych takich, że żadna nie ma dzielnika pierwszego wi_{}ekszego niż 23. Pokazać, że da si_{}e spośród nich wybrać 4 liczby tak, by ich iloczyn był czwart _{}a pot_{}eg _{}a liczby całkowitej.

7. Wielomian W (x) o współczynnikach całkowitych ma stopień n. Pokazać, że liczba rozwi _{}azań równania |W (x)| = 1 w x ∈ ℤ nie przekracza n + 2.