Troch_{}e geometrii

1. Zewn_{}etrzne styczne okr_{}egów o_{1} i o_{2} to k i l. Prosta k jest styczna do o_{1} w A, zaś prosta l do o_{2} w B. Okr _{}ag o_{1} przecina prost _{}a AB w punktach A i E zaś okr _{}ag o_{2} w B i F. Pokazać, że AE = BF.

2. Czworok _{}at ABCD wpisany jest w okr _{}ag, zaś proste AB i CD przecinaj _{}a si_{}e w G a proste AD i BC w H. Pokazać, że dwusieczne k _{}atów ∠AGC i ∠BHD s _{}a prostopadłe.

3. Czworok _{}at ABCD wpisany jest w okr _{}ag. Proste AB i CD przecinaj _{}a si_{}e w G zaś proste AD i BC w H. Dwusieczne k _{}atów ∠AGC i ∠BHD nazywaj _{}a si_{}e odpowiednio k i l oraz przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Punkty K i L należ _{}a odpowiednio do prostych k i l oraz spełniaj _{}a warunki KH⊥GH i LG⊥GH. Pokazać, że \frac{P K}{P L} = \frac{P H^{3}}{P G^{3}} .

4. Dany jest czworok _{}at wypukły ABCD, zaś K,L,M,N s _{}a środkami boków AB,BC,CD i DA odpowiednio. Odcinki KM i LN przecinaj _{}a si_{}e w S. Pokazać, że:

[AKSN] + [CMSL] = [BLSK] + [DNSM]

5. W okr_{}egu o wybrano średnic_{}e AB oraz punkt C różny od A i od B. Styczna do okr_{}egu w punkcie C przecina przedłużenie AB w punkcie D. Pokazać, że dwusieczna k _{}ata CDA odcina z k _{}ata ACB trójk _{}at równoramienny.

6. W k _{}at XP Y wpisano dwa rozł _{}aczne okr_{}egi o różncyh promieniach styczne do jego ramion. Wewn_{}etrzna styczna tych okr_{}egów jest styczna do wi_{}ekszego okr_{}egu w E i do mniejszego w F. Ponadto ta styczna przecina rami_{}e XP w A i Y P w B. Pokazać, że AE = BF.

7. W trójk _{}acie ABC I jest środkiem okr_{}egu wpisanego, K jego rzutem na bok BC zaś K′ odbiciem K wzgl_{}edem I. Ponadto M jest środkiem boku BC. Prosta AK′ przecina bok BC w punkcie D. Prosta AM oraz ID przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Pokazać, że [AP I] = [DP M].

8. Okr _{}ag Ω opisany jest na trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC.Okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} maj _{}a środki odpowiednio w środkach krótszych łuków BC i AC oraz s _{}a styczne odpowiednio do ci_{}eciw BC i AC. Pokazać, że środek okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at ABC leży na wspólnej stycznej ω_{1} i ω_{2}.