Powrót geometrii

1. W trójk _{}acie ABC okr _{}ag wpisany styczny jest do boków BC, AC, AB odpowiednio w punktach K, L, M. Punkty P, Q, R s _{}a środkami okr_{}egów wpisanych w trójk _{}aty AML,BMK i CKL odpowiednio. Pokazać, że proste P K,QL i RM przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

2. W k _{}at ∠A wpisane s _{}a okr_{}egi Γ_{1} i Γ_{2}. Okr _{}ag ω jest styczny zewn_{}etrznie do Γ_{1} w K i do Γ_{2} w L. Pokazać, że punkty A, K, L s _{}a współiniowe.

3. Trójk _{}at A_{1}A_{2}A_{3} wpisany jest w okr _{}ag Γ. Okr_{}egi ω_{i} s _{}a styczne do boków A_{i−1} A_{i} oraz A_{i}A_{i+1} oraz wewn_{}etrznie do Γ w B_{i},gdzie i ∈ {1, 2, 3} zaś A_{0} = A_{3} i A_{4} = A_{1}. Pokazać, że proste A_{i}B_{i} dla i ∈ {1, 2, 3} przecinaj _{}a s_{}e w jednym punkcie.

4. Trójk _{}at A_{1}A_{2}A_{3} wpisany jest w okr _{}ag Γ. Okr_{}egi ω_{i} s _{}a styczne do boków A_{i−1} A_{i} w X_{i,1}, do A_{i}A_{i+1} w X_{i,2} oraz wewn_{}etrznie do Γ, gdzie i ∈ {1, 2, 3} zaś A_{0} = A_{3} i A_{4} = A_{1}. Pokazać, że proste X_{i,1}X_{i,2} dla i ∈ {1, 2, 3} przecinaj _{}a s_{}e w jednym punkcie.

5. Niech H b_{}edzie ortocentrum trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC. Pokazać, że symetrlane odcinków AH, BH, CH wycinaj _{}a z trójk _{}ata ABC sześciok _{}at, którego główne przek _{}atne przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

6. Na ile co najwyżej cz_{}esci mog _{}a podzielić cztery okr_{}egi płaszczyzn_{}e?

7. W trójk _{}acie ABC okr _{}ag wisany jest styczny do boków BC, AC, AB w punktach K, L, M odpowiednio. Proste k, l, m przechodz _{}a przez puntky A, B, C odpowiednio i ich przeci_{}ecia z okr_{}egiem wpisanym w ABC bliższe odpowiednio A, B, C to A′, B′, C′. Pokazać, że proste K, L, M przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy gdy proste A′K, B′L, C′M przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.