Geometria na specjalne życzenie Macieja

Geometria 1. Niech ABC b_{}edzie dowolnym trójk _{}atem, oraz niech AMB,BNC,CKA b_{}ed _{}a trójk _{}atami równobocznymi zbudowanymi na jego bokach (na zewn _{}atrz). Przez środek MN została poprowadzona prostopadła do AC. Analogicznie prowadzimy prostopadłe do AB i BC. Udowodnij, że te trzy proste przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie...

Geometria 2. Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do boków AB i AC w punktach odpowiednio P i Q. Punkty R i S s _{}a środkami boków AC i BC. Proste RS i P Q przecinaj _{}a si_{}e w punkcie T. Udowodnij, że T leży na dwusiecznej k _{}ata B...

Geometria 3. Dany jest czworok _{}at wypukły ABCD. Niech M b_{}edzie środkiem przeci_{}ecia jego przek _{}atnych. Dwusieczna k _{}ata ACD przecina prost _{}a AB w punkcie K. Mamy także

MA · MC + MA · CD = MB · MD

Udowodnij, że k _{}aty ∠BKC i ∠CDB s _{}a równe.

Geometria 4. Niech AC b_{}edzie najdłuższym bokiem ABC, i niech N ∈ AC. Symetralna odcinka AN przecina AB w K a symetralna odcinka NC przecina BC w M. Pokazać, że punkty K, M.B, O leż _{}a na jednym okr_{}egu, gdzie O- środek okr_{}egu opisanego na ABC.

Geometria 5. Dany jest równoległobok ABCD oraz punkt P leż _{}acy w jego wn_{}etrzu taki, że środek AD jest równoodległy od P i C, a środek CD jest równoodległy od P i A. Niech Q b_{}edzie środkiem P B. Udowodnij, że ∠P AQ = ∠P CQ.

Geometria 6. Dany jest czworok _{}at ABCD wpisany w okr _{}ag. Niech X b_{}edzie punktem przeciecia jego przek _{}atnych. Okr_{}egi opisane na ABX i CDY przecinaj _{}a si_{}e ponownie w punkcie Y. Punkt Z jest tak dobrany, że trójk _{}aty ADY i BCZ s _{}a podobne. Udowodnij, że jeżeli czworok _{}at BZCY jest wypukły, to można weń wpisać okr _{}ag.

Stereometria. Dana jest sfera i płaszczyzna π przecinaj _{}aca sfer_{}e na okr_{}egu c. Punkty A, B należ _{}a do sfery, przy czym leż _{}a po przeciwnych stronach π. Poza tym prosta ł _{}acz _{}aca A i środek sfery jest prostopadła do π. Płaczszyzna ζ zawieraj _{}aca odcinek AB przecina c w punktach P i Q. Udowodnij, że BP · BQ nie zależy od wyboru płaszczyzny ζ.