Finałowe i zwardoniowe geometrie (i nie tylko)

28.04.2009

1. W ostrosłupie prawidłowym o wierzchołku S i podstawie A_{1}A_{2} …A_{n} każda krawędź boczna tworzy z płaszczyzn _{}a podstawy k _{}at 60^{∘}. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n 3 można wybrać punkty B_{2}, B_{3}, …, B_{n} na krawędziach odpowiednio A_{2}S, A_{3}S, …, A_{n}S tak, by spełniona była nierówność:

A_{1}B_{2} + B_{2}B_{3} + B_{3}B_{4} + … + B_{n−1} B_{n} + B_{n}A_{1} < 2A_{1}S.

2. Dany jest trójk _{}at ostrok _{}atny ABC. Wysokości tego trójk _{}ata przecinaj _{}a się w punkcie H. Okr _{}ag o średnicy AH przecina okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC w punktach A i K. Prosta KH przecina odcinek BC w punkcie M. Wykazać, że punkt M jest środkiem odcinka BC.

3. Do boku CA trójk _{}ata ABC należy taki punkt D, że AB =CD oraz spełniony jest warunek ∠ACB = ∠ABD. Dwusieczna k _{}ata CAB przecina bok BC w punkcie E. Udowodnić, że AB||DE.

4. Na bokach AC i BC trójk _{}ata ABC zbudowano, po jego zewnętrznej stronie takie trójk _{}aty prostok _{}atne ACK i BCL, że ∠AKC = ∠BLC = 90^{∘} oraz ∠CAK = ∠CBL. Punkt M jest środkiem odcinka AB. Wykazać, ze MK = ML.

5. Trzy różne okręgi o_{1}, o_{2} i o_{3} o równych promieniach leż _{}a wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC i każdy z nich jest styczny do dwóch boków tego trójk _{}ata. Okr _{}ag o środku w punkcie P jest styczny zewnętrznie do okręgów o_{1}, o_{2} i o_{3}. Wykazać, że punkt P, środek okręgu opisanego na trójk _{}acie ABC i środek okręgu wpisanego w trójk _{}at ABC leż _{}a na jednej prostej.

6. Kwadrat o boku długości 1 pokryto m^{2} prostok _{}atami. Dowieść, że obwód pewnego z nich jest niemniejszy niż \frac{4}{m}.