Geometria ze zwróceniem uwagi na okr _{}ag Feuerbacha

1. Dany jest trójk _{}at ABC i punkt P_{0} na płaszczyźnie. Definiujemy rekurencyjnie: P_{3n+1} to obraz punktu P_{3n} wzgl_{}edem punktu A o 120^{∘},P_{3n+2} to obraz punktu P_{3n+1} wzgl_{}edem punktu B o 120^{∘},P_{3n+3} to obraz punktu P_{3n+2} wzgl_{}edem punktu C o 120^{∘}, gdzie n jest całkowite nieujmne. Pokazać, że P_{2004} = P_{0} wtedy i tylko wtedy, gdy trójk _{}at ABC jest równoboczny.

2. Niech k_{n} = tg(∑ _{i=1}^{n} arc tg \frac{1}{n}). Pokazać, że dla każdego n całkowitego dodatniego zachodzi k_{n}(\frac{n−1}{k_{n−1}} − 1) − \frac{1}{k_{n−1}} = n.

3.Dany jest trójk _{}at ostrok _{}atny o ortocentrum H. Punkty M, N, K, L, P to środki odcinków odpowiednio AB, AC, CH, BH, BC zaś Q jest spodkiem wysokości poprowadzonej z punktu A. Proste P M i NL przecinaj _{}a si_{}e w punkcie X a proste KM i NQ w Y. Pokazać, że XY ∥BC.

4. Dany jest trójk _{}at ostrok _{}atny ABC. Punkty M, N s _{}a odpowiednio odbiciami punktu A wzgl_{}edem punktów B i C. Prosta k przechodzi przez punkt B i jest prostopadła do prostej AB oraz przecina prost _{}a AC w punkcie K. Prosta l przechodzi przez punkt C i jest prostopadła do prostej AC oraz przecina prost _{}a AB w punkcie L. Proste k i l przecinaj _{}a si_{}e w P. Pokazać, że punkty K, N, M, L, P leż _{}a na jednym okr_{}egu.

5.Okr_{}egi o_{1}, o_{2}, o_{3} przecinaj _{}a si_{}e wszystkie w punkcie P, zaś punkty A, B, C s _{}a odpowiednio drugimi punktami przeci_{}ecia par okr_{}egów o_{2}, o_{3};o_{1}, o_{3};o_{1}, o_{2}. Ponadto wiadomo, że proste P A, P B, P C zawieraj _{}a odpowiednio średnice okregów o_{1}, o_{2}, o_{3}. Pokazać, że punkty A, B, C leż _{}a na okr_{}egu opisanym na trójk _{}acie o wierzchołkach w środkach okr_{}egów o_{1}, o_{2}, o_{3}.

6. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC O to środek okr_{}egu opisanego, H to ortocentrum zaś K, L, M to odpowiednio środki odcinków AH, BH, CH. Proste przechodzaća e przez punkty K, L, M odpowiednio i odpowiednio prostopadłe do prostych OA, OB, OC wycinaj _{}A z płaszczyzny trójk _{}at XY Z. Pokazać, że ma on pole niemniejsze niż trójk _{}at ABC.

7. Dany jest trójk _{}at ABC na którego zewn _{}atrz dobudowano prostok _{}aty ABKL,BCMN,CAOP. Pokazać, że w jednym punkcie przecinaj _{}a si_{}e:

(a) dwusieczne k _{}atów ∠OAL,∠KBN,∠MCP

(b) przedłużenia promieni okr_{}egów opisanych na trójk _{}atach OAL,KBN,MCP poprowadzonych z punktów A, B, C odpowiednio.

(c) przedłużenia wysokości trójk _{}atów OAL,KBN,MCP spuszczonych z punktów A, B, C odpowiednio

(d) symetralne odcinków OL,KN,MP.