Same łatwe zadania (czyli pierwsze kółko Przemka :P)

Definicja 1. Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n, ci _{}ag Fareya F_{n} jest ci _{}agiem liczb wymiernych \frac{a}{b} z 0 a < b n i (a, b) = 1 ułożonym rosn _{}aco. Przykład: F_{3} = \{\frac{0}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{1}\}.

1. Udowodnić, że jeżeli \frac{p_{1}}{q_{1}},\frac{p_{2}}{q_{2}},\frac{p_{3}}{q_{3}} s _{}a kolejnymi elementami ci _{}agu Fareya F_{n} to zachodzi:

p_{2}q_{1} − p_{1}q_{2} = 1

oraz

\frac{p_{1} + p_{3}}{q_{1} + q_{3}} = \frac{p_{2}}{q_{2}}

.

2. Niech a, b, c b_{}ed _{}a dodatnimi liczbami rzeczywistymi, które spełniaj _{}a warunek a+b+c = 3. Pokazać, że:

\sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{c} ab + bc + ca

3. (tw. Steinera) Dany jest trójk _{}at ABC i punkt D ∈ BC. Niech E leży na BC. Pokazać, że \frac{BD}{CD} · \frac{BE}{CE} = \frac{AB^{2}}{AC^{2}} ⟺ ∠BAD = ∠CAE.

Definicja 2. Symediana to obraz środkowej przy odbiciu wzgl_{}edem dwusiecznej.

4. Punkt L leży na boku AB trójk _{}ata ABC, przy czym prosta CL jest symedian _{}a trójk _{}ata ABC. Punkt K leży na odcinku CL. Proste AK i BK przecinaj _{}a boki BC i CA odpowiednio w punktach D i E. Proste DE i AB przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Wykazaż, że prosta CP jest styczna do okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie ABC.

5. Pokazać, że dla każdego naturalnego s < p, gdzie p jest liczb _{}a pierwsz _{}a, istniej _{}a liczby całkowite x, y takie, że s ≡ x^{2} + y^{2} mod p.

6. Niech x_{1}, …, x_{n} i y_{1}, …, y_{n} b_{}ed _{}a liczbami rzeczywistymi. Niech A = (a_{ij})_{1 i,j n} b_{}edzie macierz _{}a, w której a_{ij} = 1 gdy x_{i} +x_{j} oraz a_{ij} = 0 w przeciwnym przypadku. Niech B b_{}edzie macierz _{}a n na n o elementach 0, 1 i własności, że suma elementów w każdym wierszu i w każdej kolumnie jest równa odpowiadaj _{}acej sumie macierzy A. Pokazać, że A = B.

7. Pokazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c zachodzi:

a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc + 1 2(ab + bc + ca)

Definicja 3. Generator modulo p, dla p pierwszej, to taka liczba całkowita λ, że λ^{k} ≢ 1 mod p dla k < p − 1, tj. rz _{}ad λ jest równy p − 1.

8. Pokazać, że dla każdego naturalnego n istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych p takich, że najmniejszy generator modulo p jest wi_{}ekszy od n.