Estońska olimpiada

1. Pokazać, że jeśli dla x, y ∈ ℤ^{+} liczba \frac{x^{2}+y^{2}+6}{xy} jest liczb _{}a całkowit _{}a, to jest też sześcianem liczby całkowitej.

2. Znaleźć wszystkie funkcje f : ℝ −→ ℝ spełniaj _{}ace dla każdego x ∈ ℝ równości:

f(x) = −f(−x)

f(x + 1) = f(x) + 1

f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x^{2}}f(x)

3. Niech ABC b_{}edzie trójk _{}atem rozwartok _{}atnym, H jego ortocentrum zaś A_{1}, B_{1}, C_{1} punktami na bokach BC, AC, AB odpowiednio. Pokazać, że odcinki stycznych poprowadzonych z punktu H do okr _{}agów o średnicach AA_{1},BB_{1},CC_{1} pomi_{}edzy punktem H a punktami styczności, maj _{}a równe długości.

4. Niech ABC b_{}edzie trójk _{}atem w którym ∠ACB = 90^{∘}. Punkt D leży na półprostej CB i spełnia warunek AC · CD = BC^{2}. Prosta równoległa do AB przechodz _{}aca przez D przecina prost _{}a AC w E. Znaleźć miar_{}e k _{}ata ∠BEC.

5. Pokazać, że dla a, b, c rzeczywistych dodatnich zachodzi nierówność:

\sqrt[3]{abc}+ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} 2\sqrt{3}

Kiedy zachodzi równość?

6. Niech l-ka b_{}edzie figur _{}a złożon _{}a z czterech kwadracików jednostkowych: trzech ułożonych w rz_{}edzie, stykaj _{}acych si_{}e bokami i jednym zetkni_{}etym bokiem do jednego z kwadracików na końcu tego rz_{}edu, ale nie ułożonym z pozostałymi w rz_{}edzie. Znaleźć wszystkie n dla których szachownic_{}e 2n + 1 × 2n + 1 z wyci_{}etym jednym rogiem, da si_{}e pokryć l-kami.

7. Niech κ(n) b_{}edzie sum _{}a odwrotności dodatnich dzielników liczby n. Liczba a b_{}edzie nazwana samotn _{}a, jeśli dla żadnej liczby b ≠ a nie zachodzi κ(a) = κ(b).

(a) pokazać, że wszystkie liczby pierwsze s _{}a samotne.

(b) pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb niesamotnych.