Zawody drużynowe

grupa młodsza środa, 27 września 2006

31. Pokazać, że wśrod dowolnych 101 liczb całkowitych istnieje podzbiór o sumie podzielnej przez 101.

32. Na bokach BC i CD kwadratu ABCD wybrano punkty M i K takie, że obwód trójk _{}ata MCK jest dwa razy wi_{}ekszy niż bok kwadratu. Znaleźć miar_{}e k _{}ata MAK.

33. Niech p b_{}edzie ustalon _{}a liczb _{}a pierwsz _{}a. Udowodnić, że liczba \underbrace{11 …1}_{p} \underbrace{22 …2}_{p}… \underbrace{99 …9}_{p}

(każda cyfra wyst_{}epuje p razy) daje reszt_{}e 123456789 z dzielenia przez p.

34. Przy okr _{}agłym stole siedzi n dzieci. Erika jest najstarsz _{}a spośród nich i ma n cukierków. Żadne inne dziecko nie ma cukierków. Erika postanawia rozdzielić cukierki według nast_{}epuj _{}acej zasady. W każdym ruchu dzieci maj _{}ace co najmniej dwa cukierki podnosz _{}a r_{}ek_{}e. Erika wybiera jedno z nich, po czym wybrane dziecko daje po jednym cukierku swoim s _{}asiadom. (Zatem w pierwszym ruchu tylko Erika podnosi r_{}ek_{}e i daje po jednym cukierku swoim s _{}asiadom.) Dla jakich wartości n 3 można doprowadzić do sytuacji, w której każde dziecko ma dokładnie jeden cukierek?

35. Dla jakich n 2 układ równań:

\{ \begin{matrix}4x_{1}^{2} + 8x_{2}^{2} = 33x_{1}x_{2} \\ 4x_{2}^{2} + 8x_{3}^{2} = 33x_{2}x_{3} \\ .................. \\ 4x_{n}^{2} + 8x_{1}^{2} = 33x_{n}x_{1} \end{matrix}

ma rozwi _{}azanie w liczbach rzeczywistych x_{1}, x_{2}, …, x_{n}?

36. Dwa okr_{}egi Γ_{1} i Γ_{2} o różnych promieniach przecinaj _{}a si_{}e w punktach A i B. Ich wspólne styczne to MN i ST przy czym M i S leż _{}a na Γ_{1} zaś N i T na Γ_{2}. Pokazać, że ortocentra trójk _{}atów △AMN, △AST, △BMN, △BST tworz _{}a wierzchołki prostok _{}ata.

37. Każdy wierzchołek 2006-k _{}ata foremnego pokolorowano na jeden z 10 kolorów. Pokazać, że jeśli wśród dowolnych 100 kolejnych wierzchołków wyst_{}epuj _{}a wszystkie kolory, to wśród pewnych 90 również.

Zawody drużynowe

grupa starsza środa, 27 września 2006

34. Przy okr _{}agłym stole siedzi n dzieci. Erika jest najstarsz _{}a spośród nich i ma n cukierków. Żadne inne dziecko nie ma cukierków. Erika postanawia rozdzielić cukierki według nast_{}epuj _{}acej zasady. W każdym ruchu dzieci maj _{}ace co najmniej dwa cukierki podnosz _{}a r_{}ek_{}e. Erika wybiera jedno z nich, po czym wybrane dziecko daje po jednym cukierku swoim s _{}asiadom. (Zatem w pierwszym ruchu tylko Erika podnosi r_{}ek_{}e i daje po jednym cukierku swoim s _{}asiadom.) Dla jakich wartości n 3 można doprowadzić do sytuacji, w której każde dziecko ma dokładnie jeden cukierek?

35. Dla jakich n 2 układ równań:

\{ \begin{matrix}4x_{1}^{2} + 8x_{2}^{2} = 33x_{1}x_{2} \\ 4x_{2}^{2} + 8x_{3}^{2} = 33x_{2}x_{3} \\ .................. \\ 4x_{n}^{2} + 8x_{1}^{2} = 33x_{n}x_{1} \end{matrix}

ma rozwi _{}azanie w liczbach rzeczywistych x_{1}, x_{2}, …, x_{n}.

36. Dwa okr_{}egi Γ_{1} i Γ_{2} o różnych promieniach przecinaj _{}a si_{}e w punktach A i B. Ich wspólne styczne to MN i ST przy czym M i S leż _{}a na Γ_{1} zaś N i T na Γ_{2}. Pokazać, że ortocentra trójk _{}atów △AMN, △AST, △BMN, △BST tworz _{}a wierzchołki prostok _{}ata.

37. Każdy wierzchołek 2006-k _{}ata foremnego pokolorowano na jeden z 10 kolorów. Pokazać, że jeśli wśród dowolnych 100 kolejnych wierzchołków wyst_{}epuj _{}a wszystkie kolory, to wśród pewnych 90 również.

38. Funkcja f(n) określona dla liczb całkowitych dodatnich i przyjmuj _{}aca wartości całkowite dodatnie spełnia nast_{}epuj _{}ace warunki:

\{ \begin{matrix}f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3 \\ f(2k) = 2f(k) \\ f(4k + 1) = 4k + 2 \\ f(4k + 3) = 2f(2k + 1) + 1 \end{matrix}

dla liczb całkowitych dodatnich k. Niech x b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a, zaś nieskończony ci _{}ag a_{i} b_{}edzie określony warunkami: a_{1} = x oraz a_{i} = f(a_{i−1} ) dla i > 1. Pokazać, że dla dowolnego x ci _{}ag a_{i} jest od pewnego miejsca stały i dla x w zbiorze {1, 2, …, 2^{m} − 1} znaleźć maksymaln _{}a długość pocz _{}atku ci _{}agu a_{i}, po którym ci _{}ag staje si_{}e stały.

39. Znaleźć cz_{}eść całkowit _{}a liczby:

\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + … + \frac{1}{\sqrt{10000}}

310. Okr _{}ag o środku O i promieniu R jest opisany na trójk _{}acie ABC. Punkt I jest środkiem okr_{}egu wpisanego w ten trójk _{}at, punkt D jest rzutem prostok _{}atnym punktu A na prost _{}a BC. Okr _{}ag styczny do boku BC oraz do przedłużeń pozostałych boków tego trójk _{}ata ma promień R. Dowieść, że punkty O, I, D s _{}a współliniowe.