Przyjazne drugie etapy

11.02.2009

1. W czworok _{}acie wypukłym ABCD punkt M jest środkiem przek _{}atnej AC. Wykazać, że jeżeli ∠BAD = ∠BMC = ∠CMD, to na czworok _{}acie ABCD można opisać okr _{}ag.

2. Punkt A leży na zewn _{}atrz okręgu o o środku O. Z punktu A poprowadzono dwie styczne do okręgu o odpowiednio w punktach B i C. Pewna styczna przecina odcinki AB i AC odpowiednio w punktach E i F. Proste OE i OF przecinaj _{}a odcinek BC odpowiednio w punktach P i Q. Udowodnić, ze z odcinków BP, P Q i QC można zbudować trójk _{}at podobny do trójk _{}ata AEF.

3. Niech n ⩾ 3 będzie liczb _{}a naturaln _{}a. Dowieść, że dowolny wielomian postaci

x^{n} + a_{n−3} x^{n−3} + a_{n−4} x^{n−4} + a_{n−5} x^{n−5} + ... + a_{1}x + a_{0},

gdzie co najmniej jeden ze współczynników a_{0}, a_{1}, ..., a_{n−3} jest różny od zera, ma mniej niż n pierwiastków rzeczywistych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).

4. Dane s _{}a liczby naturalne k i n większe od 1, przy czym liczba p = 2k − 1 jest pierwsza. Dowieść, że jeśli liczba

\binom{n}{2} − \binom{k}{2}

jest podzielna przez p, to jest też podzielna przez p^{2}.

5. Sześcian S o krawędzi 2 jest zbudowany z ośmiu sześcianów jednostkowych. Klockiem nazwiemy bryłę otrzyman _{}a przez usunięcie z sześcianu S jednego z ośmiu sześcianów jednostkowych. Sześcian T o krawędzi 2^{n} jest zbudowany z (2^{n})^{3} sześcianów jednostkowych. Udowodnić, ze po usunięciu z sześcianu T dowolnego spośród (2^{n})^{3} sześcianów jednostkowych powstanie bryła, któr _{}a daje się szczelnie wypełnić klockami.

6. Udowodnić, ze dla dowolnych liczb a, b, c ∈ ℝ_{+} zachodzi nierówność:

\sqrt[3]{abc}+ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ⩾ 2\sqrt{3}.

Kiedy w podanej nierówności zachodzi równość?