Różne różności i nieróżności

Zadanie 1. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n 3 istniej _{}a nieparzyste liczby naturalne p i q takie, że

7p^{2} + q^{2} = 2^{n}

Zadanie 2. Ci _{}ag \{a_{n}\} jest zdefiniowany nast_{}epuj _{}aco: a_{1} = 1, oraz a_{n+1} = \frac{a_{n}}{n} + \frac{n}{a_{n}} dla n 1. Pokazać, że dla n 4 zachodzi [a_{n}^{2}] = n.

Zadanie 3. Niech H b_{}edzie ortocentrum trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC. Proste przechodz _{}ace przez punkt A s _{}a styczne do okr_{}egu o średnicy BC w punktach P i Q. Pokazać, że punkty P, Q, H s _{}a współliniowe.

Zadanie 4. Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p, q takie, że kongurencja modulo 3pq

x^{3pq} ≡ x

zachodzi dla wszystkich naturalnych x.

Zadanie 5. Niech x_{1}, x_{2}, ..., x_{n+1} b_{}ed _{}a takimi dodatnimi liczbami rzeczywistymi, że x_{1} + x_{2} + ...x_{n} = x_{n+1} . Pokazać, że

∑_{i=1}^{n} \sqrt{x_{i}(x_{n+1} − x_{i})} \sqrt{∑_{i=1}^{n} x_{n+1} (x_{n+1} − x_{i})}

Zadanie 6. Czy istnieje skończony zbiór niezerowych liczb rzeczywistych taki, że dla każdego n ∈ N istnieje wielomian stopnia co najmniej n, o współczynnikach z M, którego wszystkie pierwiastki s _{}a rzeczywiste i należ _{}a do M?

Zadanie 7. W trójk _{}acie równoramiennym ABC (AC = BC) O jest środkiem okr_{}egu opisanego, I- środkiem okr_{}egu wpisanego, a D leży na BC tak, że OD i BI s _{}a prostopadłe. Pokazać, że ID i AC s _{}a równoległe.