Mhoczne kółeczko z niezmienników i Dirichleta

14.01.2009

1. W kółku siedzi 666 dzieci, wśród nich najstarszy jest Alek , który ma 666 cukierków. Co jakiś czas Alek wybiera jakieś dziecko, które ma co najmniej dwa cukierki i każe mu dać po cukierku s _{}asiadom wybranego dziecka (dzieci s _{}a posłuszne i słuchaj _{}a starszego kolegi). Czy możliwe jest, aby po pewnej liczbie takich operacji każde dziecko miało po jednym cukierku?

2. Kasia ma w swoim wielkim terrarium 539 czerwonych, 607 niebieskich i 666 zielonych kameleonów. Kiedy spotkaj _{}a się dwa różne kameleony, zmieniaj _{}a kolor na ten trzeci. Czy możliwe jest, aby w pewnej chwili wszystkie kameleony były jednego koloru?

3. Z 666^{2} płytek w kształcie trójk _{}ata równobocznego o boku 1 ułożono trójk _{}at równoboczny o boku 666. Każda płytka jest z jednej strony czarna, a z drugiej biała. Ruch polega na wykonaniu następuj _{}acych czynności: wybieramy płytkę P maj _{}ac _{}a boki wspólne z co najmniej dwiema płytkami, których widoczne strony maj _{}a kolor inny niż widoczna strona płytki P. Następnie odwracamy płytkę P na drug _{}a stronę. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje pocz _{}atkowe ułożenie płytek, pozwalaj _{}ace wykonać nieskończony ci _{}ag ruchów.

4. Między 66 miastami kursuj _{}a samoloty czterech linii tak, że między każdymi dwoma miastami w obydwie strony lataj _{}a samoloty dokładnie jednej linii. Pokazać, że można znaleźć takie trzy miasta, że poł _{}aczenia między nimi obsługuje jedna linia lotnicza.

5. Danych jest ci _{}ag 666 (niekoniecznie różnych) liczb całkowitych a_{1}, a_{2}, …, a_{666}. Pokazać, że istnieje takie dodatnie k ⩽ 666, że można wybrać k kolejnych wyrazów ci _{}agu tak, że ich suma jest podzielna przez 666.

6. We wnętrzu trójk _{}ata równobocznego o boku 18 danych jest 666 punktów. Udowodnić, że pewne trzy z nich tworz _{}a trójk _{}at (być może zdegenerowany) o obwodzie co najwyżej 3.