Dirichlet i insza kombinatoryka

1. W trójk _{}acie równobocznym o boku długości 12 umieszczono 300 punktów. Pokazać, że pewne trzy z nich tworz _{}a trójk _{}at (może być zdegenerowany) o obwodzie mniejszym równym od 3.

2. Na bokach AB i CD kwadratu ABCD o boku długości 1 obrano odpowiednio punkty X_{1}, X_{2}, …, X_{1001} na AB i Y_{1}, Y_{2}, …Y_{1001} na CD. Pokazać, że łamana AY_{1}X_{1}Y_{2}X_{2} …Y_{1001}X_{1001}C ma długosć co najmniej \sqrt{4012010}.

3. W kwadracie o boku 26 umieszczono 100 kwadratów o boku 1. Pokazać, że istniej _{}a dwa odległe o mniej niż 2.

4. Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej p istniej _{}a liczby całkowite x, y, k, spełniaj _{}ace warunek 0 < 2k < p, takie, że:

kp + 3 = x^{2} + y^{2}

.

5. Na płaszczyźnie dany jest skończony zbiór trójk _{}atów równobocznych. Figura, która jest ich sum _{}a, ma pole 16. Dowieśc, że spośrod tych trójk _{}atów można wybrać podzbiór trójk _{}atych o rozł _{}acznych wn_{}etrzach o sumie pól przynajmniej 1.

6. Dane s _{}a ci _{}agi liczb (x_{1}, x_{2}, …, x_{7}) oraz (y_{1}, y_{2}, …, y_{7}), takie że dla każdego i zachodzi:

\{ \begin{matrix}x_{i} 0 \\ y_{i} 0 \\ x_{i} + y_{i} 1 \end{matrix}

Pokazać, że istniej _{}a indeksy k, l że zachodzi |x_{k} − x_{l}| + |y_{k} − y_{l}| \frac{1}{2}.

7. Dowieść, że kwadratowej szachownicy 43 × 43 z wyci_{}etym środkowym polem nie da si_{}e podzielić na prostok _{}aty 1 × 6.

8. Klockiem b_{}edziemy nazywać bryłe powstał _{}a w wyniku wyrzucenia jednego z sześcianików jednostkowych z sześcianu 2×2×2 złożonego z sześciańików jednostkowych. Pokazać, że dowolny sześcian 2^{k} × 2^{k} × 2^{k} z wyrzuconym dowolnym sześcianikiem jednostkowym da si_{}e zbudować z klocków.