Zadania z Dirichleta - wykład na 7WM

0. W trójk _{}acie równobocznym o boku 10 umieszczono 201 punktów. Pokazać, że pewne dwa s _{}a w odległości mniejszej niż 1. A nast_{}epnie pokazać, że przy 76 punktach również jest dobrze.

1. W kwadracie o boku 26 umieszczono 100 kwadratów o boku 1. Pokazać, że istniej _{}a dwa odległe o mniej niż 2.

2. Na płaszczyźnie dany jest skończony zbiór trójk _{}atów równobocznych. Figura, która jest ich sum _{}a, ma pole 16. Dowieśc, że spośrod tych trójk _{}atów można wybrać podzbiór trójk _{}atych o rozł _{}acznych wn_{}etrzach o sumie pól przynajmniej 1.

3. Na płaszczyźnie jest umieszczonych nieskończenie wiele modliszek. Każda z nich może si_{}e poruszać z pr_{}edkości _{}a 5 metrów na minut_{}e oraz na pocz _{}atku każde dwie oddalone s _{}a od siebie o co najmniej 2 metry. Jeśli dwie żywe modliszki spotkaj _{}a si_{}e w tym samym punkcie, to jedna może zjeść drug _{}a, zaś modliszka umiera po minucie od zjedzenia swojego ostatniego współbratymca. Pokazać, że po kwadransie wszystkie modliszki b_{}ed _{}a martwe.

4. Pokazać, że dla każdego p pierwszego istniej _{}a takie x, y całkowite, że p|x^{2} + y^{2} − 1.

5. Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej p istniej _{}a liczby całkowite x, y, k, spełniaj _{}ace warunek 0 < 2k < p, takie, że:

kp + 3 = x^{2} + y^{2}

.

6. Dane s _{}a ci _{}agi liczb (x_{1}, x_{2}, …, x_{7}) oraz (y_{1}, y_{2}, …, y_{7}), takie że dla każdego i zachodzi:

\{ \begin{matrix}x_{i} 0 \\ y_{i} 0 \\ x_{i} + y_{i} 1 \end{matrix}

Pokazać, że istniej _{}a indeksy k, l że zachodzi |x_{k} − x_{l}| + |y_{k} − y_{l}| \frac{1}{2}.

7. Spośród liczb od 1 do 100 wybrano 26. Pokazać, że jest wśród nich niepusty podzbiór o iloczynie b_{}ed _{}acym kwadratem liczby naturalnej.

8. W ksi_{}estwie Hofmańskim jest 66 pomników Hofmana. Pomi_{}edzy każdymi dwoma istnieje poł _{}aczenie obsługiwane przez jednego z 4 przewoźników. Pokazać, że istnieje trójka pomników, pomi_{}edzy którymi poł _{}aczenia obsługuje ten sam przewoźnik.

9. W turnieju ping-pongowym starły si_{}e dwie 1000-osobowe drużyny i każdy rozegrał mecz z każdym. Pokazać, że istnieje pewnych 10 zawodników z jednej drużyny takich, że każdy zawodnik z przeciwnej drużyny przegrał z którymś z nich.