Cztery trudne geometrie

1. W trójk _{}acie ABC prost _{}a zawieraj _{}ac _{}a środkow _{}a wychodz _{}ac _{}a z wierzchołka A odbito wzgl_{}edem dwusiecznej k _{}ata ∠BAC tworz _{}ac prost _{}a AD, gdzie D leży na boku BC. Punkt K należy do odcinka AD zaś proste BK i CK przecinaj _{}a boki AC i AB odpowiednio w punktach E i F. Prosta EF przecina prost _{}a BC w punkcie P. Pokazać, że prosta AP jest styczna do okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie ABC.

2. Dany jest n-k _{}at foremny i jego dowolna triangulacja (czyli podział nieprzecinaj _{}acymi si_{}e przek _{}atnymi na trójk _{}aty). We wszystkie powstałe trójk _{}aty wpisano okr_{}egi. Pokazać, że suma promieni tych okr_{}egów nie zależy od doboru triangulacji.

3. Na płaszczyźnie jest umieszczonych nieskończenie wiele modliszek. Każda z nich może si_{}e poruszać z pr_{}edkości _{}a 5 metrów na minut_{}e oraz na pocz _{}atku każde dwie oddalone s _{}a od siebie o co najmniej 2 metry. Jeśli dwie żywe modliszki spotkaj _{}a si_{}e w tym samym punkcie, to jedna może zjeść drug _{}a, zaś modliszka umiera po minucie od zjedzenia swojego ostatniego współbratymca. Pokazać, że po kwadransie wszystkie modliszki b_{}ed _{}a martwe.

4. Niech ABCD b_{}edzie ustalonym czworok _{}atem wypukłym, którego boki BC i AD s _{}a równej długości i nie s _{}a równoległe. Punkty E i F leż _{}a odpowiednio na bokach BC i AD, s _{}a różne od wierzchołków A, B, C, D oraz BE = DF. Proste AC i BD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P, proste BD i EF przecinaj _{}a si_{}e w punkcie Q, proste EF i AC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie R. Rozpatrujemy wszystkie trójk _{}aty P QR, dla zmieniaj _{}acych położenie punktów E i F. Dowieść, że okr_{}egi opisane na tych trójk _{}atach maj _{}a punkt wspólny, różny od punktu P.