Krasnale

05.11.2008

1. Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do boków BC, CA i AB odpowiednio w punktach P, Q, R. Prosta równoległa do BC, przechodz _{}aca przez A, przecina proste P Q i P R w punktach E i F. Wykazać, że A jest środkiem odcinka EF.

2. Dane s _{}a dwa różne punkty A i B. Znaleźć zbiór punktów styczności okręgów stycznych zewnętrznie takich, że jeden z nich jest styczny do prostej AB w punkcie A, a drugi – w punkcie B.

3. Podstaw _{}a ostrosłupa jest równoległobok ABCD, wierzchołkiem – punkt S, a spodkiem wysokości – punkt A. Okręgi wpisane w ściany SBC i SDC s _{}a styczne. Wykazać, że podstaw _{}a tego ostrosłupa jest romb.

4. Punkty P, Q i R należ _{}a odpowiednio do boków BC, CA i AB trójk _{}ata ABC. Proste AP, BQ i CR przecinaj _{}a się w punkcie S. Okr _{}ag wpisany w czworok _{}at P CQS jest styczny do QS w punkcie E, natomiast okr _{}ag wpisany w P BRS jest styczny do RS w punkcie F. Wykazać, że EQ = F R.

5. Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do boku AB w punkcie D. Prosta przechodz _{}aca przez środek boku BC i prostopadła do dwusiecznej k _{}ata BAC przecina prost _{}a AB w punkcie E. Udowodnić, że BC = 2DE.

6. Środkowe AP i CQ trójk _{}ata ABC przecinaj _{}a się w punkcie D. W czworok _{}at BP DQ można wpisać okr _{}ag. Wykazać, że AB = BC.

7. Dany jest ostrosłup czworok _{}atny ABCDS o podstawie czworok _{}ata wypukłego ABCD. Sfera wpisana w ten ostrosłup jest styczna do ściany ABCD w punkcie P. Dowieść, że

∠AP B + ∠CP D = 180^{∘}