Czechy + okolice

1. Znaleźć wszystkie n całkowite dodatnie, dla których 2n + 1|(n!)^{2} − 1.

2. W trójk _{}acie ABC k _{}at ACB ma miar_{}e 100^{∘}. Dwusieczna k _{}ata ABC przecina bok AC w punkcie X, zaś punkt Y leży na boku AC i spełnia warunek ∠Y CB = 100^{∘}. Znaleźć miar_{}e k _{}ata Y XB.

3. W trapezie prostok _{}atnym bok AB jest podstaw _{}a, zaś k _{}at prosty jest przy wierzchołku A. Dwusieczne k _{}atów przy wierzchołkach A i B przecinaj _{}a si_{}e w punkcie S, zaś dwusieczne k _{}atów przy wierzchołkach C i D w punkcie T. Punkt E jest przeci_{}eciem prostej DT i AB. Pokazać, że punkty B, S, E, T leż _{}a na jednym okr_{}egu.

4. Znaleźć wszystkie funkcje f : ℝ^{+} −→ ℝ^{+} dla których dla każdych x, y ∈ ℝ^{+} zachodzi:

f(xf(y)) = f(xy) + x

5. Znaleźć wszystkie wielomiany P (x) spełniaj _{}ace dla każdego x rzeczywistego równość:

(P (x))^{2} + P (−x) = P (x^{2}) + P (x)

6. W trójk _{}acie równoramiennym ABC zachodzi AC = BC. Na wysokości CD obrano punkt P taki, by okr_{}egi wpisane w trójk _{}at AP B i czworok _{}at CEP F były przystaj _{}ace, gdzie E i F to odpowiednio przeci_{}ecia prostych AP i BP z bokami BC i AC. Pokazać, że wówczas również okr_{}egi wpisane w trójk _{}aty AP D oraz BP C s _{}a przystaj _{}ace.

7. Znaleźć wszystkie liczby czterocyfrowe \overline{abcd}spełniaj _{}ace zależność:

\overline{abcd}+ 1 = (\overline{ac} + 1)(\overline{bd}+ 1)