Ci _{}agi (nie)jednomonotoniczne i nie tylko

13.05.2009

1. Udowodnić, że dla dodatnich liczb a, b, c zachodzi nierówność:

\frac{a^{8} + b^{8} + c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}} ⩾ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.

2. Pokazać, że dla dodatnich liczb a, b, c prawdziwa nierówność (nierówność Nesbitta):

\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} ⩾ \frac{3}{2}.

3. Wykaż, że nieujemne liczby rzeczywiste a, b, c o sumie 1 spełniaj _{}a nierówność:

\frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1} + \frac{c}{c + 1} ⩽ \frac{3}{4}.

4. Trójk _{}at równoramienny ABC (AB = AC) wpisany jest w okr _{}ag ω_{1}. Okr _{}ag ω_{2} jest styczny wewnętrznie do ω_{1} oraz do AB w punkcie P i do AC w punkcie Q. Pokazać, że środek odcinka P Q jest środkiem okręgu wpisanego w ABC.

5. Na spotkanie przybyły jednoosobowe delegacje 193 państw. Każdy miał usi _{}aść na krześle podpisanym jego nazwiskiem przy okr _{}agłym stole, na którym rozstawiono tabliczki z nazwami wszystkich 193 krajów (jedna tabliczka przy każdym krześle). Kiedy wszyscy zajęli miejsca okazało się, że nikt nie siedzi przy tabliczce z nazw _{}a swojego państwa. Pokazać, że można tak obrócić stół, żeby co najmniej dwie osoby miały przy sobie odpowiednie wizytówki.

6. Normalne skoczki poruszaj _{}a się po szachownicy dwa pola w jednym kierunku i jedno pole w drugim kierunku (lub odwrotnie). Alek struga superskoczki, które poruszaj _{}a się po szachownicy trzy pola w jednym kierunku i dwa pola w drugim kierunku (lub odwrotnie). Tadeusz ustawił na nieskończonej szachownicy 2009 superskoczków. Przyszedł Waldek i stwierdził, że istnieje 666 superskoczków, które się nie bij _{}a. Czy Waldek zawsze musiał mieć rację?