Chile

1. Znaleźć wszystkie liczby całkowite dodatnie m dla których istnieje takie całkowite dodatnie a, że m|a^{2} + 1.

2. W trójk _{}acie ABC zachodzi ∠BAC = 2∠ABC. Pokazać, że |BC|^{2} = |AC|(|AC| + |AB|).

3. Niech C_{1} i C_{2} b_{}ed _{}a dwoma rozł _{}acznymi okr_{}egami o równych promieniach i środkach w O_{1} i O_{2}. Prosta l jest równoległa do O_{1}O_{2} i przecina oba okr_{}egi. Punkty P_{1} i P_{2} leż _{}a na prostej l zaś wszystkie punkty przeci_{}ecia l z okr_{}egami C_{1} i C_{2} leż _{}a na odcinku P_{1}P_{2}. Pokazać, że proste z punktu P_{1} styczne do C_{1} i proste z punktu P_{2} styczne do C_{2} wycinaj _{}a z płaszczyzny czworok _{}at, w który da si_{}e wpisać okr _{}ag.

4. Liczby całkowite dodatnie x, y spełniaj _{}a równanie 3x^{2} + x = 4y^{2} + y. Pokazać, że liczby x − y,3x + 3y + 1 oraz 4x + 4y + 1 s _{}a kwadratami liczb całkowitych.

5. Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu boku AB, po stronie B obrano taki punkt E, że BE = BC. Na przedłużeniu boku AD, po stronie D obrano taki punkt F, że DF = CD. Pokazać, że proste prostopadłe do prostych AB i AD przechodz _{}ace przez punkty E i F odpowienio, dwusieczna k _{}ata ∠EAF oraz prosta prostopadła do BD przechodz _{}aca przez C, przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

6. W trójk _{}acie ABC o polu 1 punkt P leży na boku AB bliżej A niż B. Punkty Q, R, S leż _{}a odpowiednio na bokach AC,BC i AB oraz spełniaj _{}a warunki P Q∥BC,QR∥AB,RS∥AC. Znaleźć maksymaln _{}a możliw _{}a wartość pola czworok _{}ata P QRS.

7. Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n istnieje n cyfrowa liczba, której cyfry należ _{}a do zbioru {1, 2}, podzielna przez 2^{n}.

8. Funkcja f : ℤ^{+} −→ ℤ^{+} dla każdego n ∈ ℤ^{+} spełnia warunek:

f(n + f(n)) = 1

Wiedz _{}ac, że f(2005) = 2 znaleźć minimaln _{}a wartość sumy f(1) + f(2) + … + f(2006).

9. Znaleźć wszystkie n dla których istnieje ci _{}ag x_{1}, x_{2}, …, x_{n} liczb ze zbioru {−1, 1} spełniaj _{}acy równanie:

x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} + x_{2}x_{3}x_{4}x_{5} + … + x_{n−1} x_{n}x_{1}x_{2} + x_{n}x_{1}x_{2}x_{3} = 0