Kółeczko z Cevy i Menelaosa  28 stycznia 2010

Twierdzenie o dwusiecznej. Niech AD będzie dwusieczną w trójkącie ABC. Wtedy \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}.

Twierdzenie Cevy. Niech punkty A_{1}, B_{1}, C_{1} leżą odpowiednio na bokach BC, AC, AB trójkąta ABC. Wtedy proste AA_{1}, BB_{1}, CC_{1} przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy \frac{AC_{1}}{BC_{1}} · \frac{BA_{1}}{CA_{1}} · \frac{CB_{1}}{AB_{1}} = 1.

Twierdzenie Menelaosa. Niech punkty B_{1}, C_{1} leżą odpowiednio na bokach AC, AB trójkąta ABC, a punkt A_{1} na przedłużeniu boku AB. Wtedy punkty A_{1}, B_{1}, C_{1} są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy \frac{AC_{1}}{BC_{1}} · \frac{BA_{1}}{CA_{1}} · \frac{CB_{1}}{AB_{1}} = 1.

Twierdzenie sinusów. W trójkącie ABC zachodzi \frac{sin ∠A}{BC} = \frac{sin ∠B}{CA} = \frac{sin ∠C}{AB}.

Pole trójkąta. Pole trójkąta ABC jest równe \frac{1}{2}AB · AC · sin ∠A.

Trygonometryczne twierdzenie Cevy. Niech punkty A_{1}, B_{1}, C_{1} leżą odpowiednio na bokach BC, AC, AB trójkąta ABC. Wtedy proste AX, BY, CZ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy \begin{matrix}sin & ∠ACC_{1} \\ sin & ∠BCC_{1} \end{matrix} · \begin{matrix}sin & ∠BAA_{1} \\ sin & ∠CAA_{1} \end{matrix} · \begin{matrix}sin & ∠CBB_{1} \\ sin & ∠ABB_{1} \end{matrix} = 1.

Ogólniejsze wersje twierdzeń Cevy i Menelaosa. Niech punkty A_{1}, B_{1}, C_{1} leżą odpowiednio na prostych BC, AC, AB. Niech R = \frac{AC_{1}}{BC_{1}} · \frac{BA_{1}}{CA_{1}} · \frac{CB_{1}}{AB_{1}} = 1. Teraz:

• jeśli R = 1 oraz parzysta liczba spośród punktów A_{1}, B_{1}, C_{1} należy do boków trójkąta ABC, to proste AA_{1}, BB_{1}, CC_{1} przecinają się w jednym punkcie (tw. Cevy);

• jeśli R = 1 oraz nieparzysta liczba spośród punktów A_{1}, B_{1}, C_{1} należy do boków trójkąta ABC, to punkty A_{1}, B_{1}, C_{1} są współliniowe (tw. Menelaosa).

1. Udowodnij, że w trójkącie ostrokątnym w jednym punkcie przecinają się: środkowe; dwusieczne; wysokości.

2. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do jego boków BC, AC, AB odpowiednio w punktach D, E, F. Udowodnij, że proste AD, BE, CF przecinają się w jednym punkcie.

3. Punkt P leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC. Proste AP, BP, CP przecinają boki tego trójkąta odpowiednio w punktach D, E, F. Proste DE i DF przecinają prostą przechodzącą przez A i równoległą do BC odpowiednio w punktach X i Y. Udowodnij, że AX = AY.

4. AD jest dwusieczną w trójkącie ABC, a jej symetralna przecina prostą BC w punkcie F. Udowodnij, że \frac{BE}{CE} = \frac{AB^{2}}{AC^{2}} .

5. Punkt P leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC. Proste AP, BP, CP przecinają boki tego trójkąta odpowiednio w punktach D, E, F. Udowodnij, że proste przechodzące przez środki boków BC, CA, AB równoległe odpowiednio do AP, BP, CP, przecinają się w jednym punkcie.

6. Punkt P leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC. Proste AP, BP, CP przecinają boki tego trójkąta odpowiednio w punktach D, E, F. Udowodnij, że proste łączące środki boków BC, CA, AB odpowiednio ze środkami AD, BE, CF, przecinają się w jednym punkcie.

7. Niech α, β, γ będą dowolnymi kątami takimi, że suma każdych dwóch z nich jest mniejsza niż π. Na zewnątrz trójkąta ABC skonstruowano trójkąty A_{1}BC, AB_{1}C, ABC_{1} tak, że ich kąty przy wierzchołkach A, B, C mają odpowiednio miarę α, β, γ. Udowodnij, że proste AA_{1}, BB_{1}, CC_{1} przecinają się w jednym punkcie.

Kółeczko z Cevy i Menelaosa  28 stycznia 2010

8. Udowodnij powyższe dla trójkątów skonstruowanych wewnątrz trójkąta ABC.

9. Okrąg o środku O wpisany w trójkąt ABC jest styczny do jego boków BC, AC, AB odpowiednio w punktach D, E, F. Na półprostych OA_{1}, OB_{1}, OC_{1} odłożono jednakowe odcinki OA_{2}, OB_{2}, OC_{2}. Udowodnij, że proste AA_{2}, BB_{2}, CC_{2} przecinają się w jednym punkcie.

10. Punkt P leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC. Proste AP, BP, CP przecinają boki tego trójkąta odpowiednio w punktach D, E, F. Udowodnij, że \frac{AP}{P D} = \frac{AE}{CE} + \frac{AF}{BF} (tw. Van Aubela).

11. Dane są trzy rozłączne zewnętrznie okręgi o_{1}, o_{2}, o_{3} o środkach odpowiednio O_{1}, O_{2}, O_{3}. Dwie spośród stycznych do obu okręgów o_{2} i o_{3} przecinają się w punkcie A_{1}, leżącym na odcinku O_{2}O_{3}. Analogicznie definiujemy punkty A_{2} i A_{3}. Udowodnij, że albo proste O_{1}A_{1}, O_{2}A_{2}, O_{3}A_{3} przecinają się w jednym punkcie, albo punkty A_{1}, B_{1}, C_{1} są współliniowe.

12. Punkty D i E leżą odpowiednio na bokach BC i CA trójkąta ABC, przy czym BD = AE. Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie P. Dwusieczna kąta ACB przecina odcinki AD i BE odpowiednio w punktach Q i R. Udowodnij, że \frac{P Q}{AD} = \frac{P R}{BE}.

13. Ferdek, Paździoch, Walduś i Boczek poruszają się każdy po swojej prostej ze stałymi prędkościami. W każdej sytuacji, gdy dwóch z nich się spotyka, wypijają 2 napoje MF w króciutkim czasie i jadą dalej. Udowodnij, że niemożliwe jest, aby zostało skonsumowanych dokładnie 10 napojów MF.

14. Na zewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC zbudowano takie trójkąty równoramienne ARB, BP C, CQA, że AR = BR, BP = CP, AQ = CQ. Pokazać, że proste AP, BQ, CR przecinają się w jednym punkcie.

15. W trapezie ABCD, w którym BC > AD, na dłuższej podstawie AB obrano taki punkt K, by KB = CD. Następnie przeprowadzono przez punkt B taką prostą, by przecinała ona odcinki AD i KD w punktach odpowiednio E i F oraz by AE = KF. Na boku BC oznaczono taki punkt S, że BS = AD. Udowodnij, że EC||F S.

16. Z wierzchołka C kąta prostego trójkąta ABC poprowadzono wysokość CK, a w trójkącie CKA poprowadzono dwusieczną CE. Prosta przechodząca przez punkt B równoległa do CE przecina prostą CK w punkcie F. Udowodnij, że prosta EF dzieli odcinek AC na połowy.

17. Punkty A_{1}, A_{2} należą do boku BC trójkąta ABC, punkty B_{1}, B_{2} do boku AC, punkty C_{1}, C_{2} do boku AB. Punkty A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2} leżą na okręgu. Udowodnij, że jeśli AA_{1}, BB_{1}, CC_{1} przecinają się w jednym punkcie, to AA_{2}, BB_{2}, CC_{2} także przecinają się w jednym punkcie.

18. Dany jest trójkąt ABC. Punkty P, Q, R należą odpowiednio do prostych BC, AC, AB. Odpowiednio punkty P_{1}, Q_{1}, R_{1} są ich obrazami względem środków odpowiednich odcinków (BC, AC, AB). Udowodnij, że jeśli punkty P, Q, R są współliniowe, to P_{1}, Q_{1}, R_{1} także są współliniowe. Udowodnij, że jeśli AP, BQ, CR przecinają się w jednym punkcie, to AP_{1}, BQ_{1}, CR_{1} także przecinają się w jednym punkcie.