KÓŁECZKO Z CEVY I MENELAOSA (3.01.07)

1. TEORIA

1.1. Twierdzenie Cevy - Niech punkty X, Y, Z leż _{}a odpowienio na bokach BC, AC i AB trójk _{}ata

ABC. Wtedy proste AX, BY, CZ przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy gdy

\frac{AZ}{BZ} · \frac{BX}{CX} · \frac{CY}{AY} = 1

.

1.2. Twierdzenie Menelaosa - Niech punkty Z i Y leż _{}a odpowiednio na bokach AC i BC trójk _{}ata ABC, a

punkt X na przedłużeniu boku AB. Wtedy punkty X, Y, Z s _{}a współliniowe wtedy i tylko wtedy gdy

\frac{AX}{XB} · \frac{BY}{Y C} · \frac{CZ}{ZA} = 1

.

2. ZADANIA

2.1. Korzystaj _{}ac z twierdzenia Cevy udowodnić że w trójk _{}acie ostrok _{}atnym w jednym punkcie przecinaj _{}a si_{}e: środkowe; dwusieczne; wysokości

2.2. Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do jego boków AB, BC, CA odpowiednio w punktach F, D, E. Udowodnić, że proste AD, BE, CF przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

2.3. W trójk _{}acie ABC symetralna dwusiecznej AD przecina prost _{}a BC w punkcie E. Dowieść, że \frac{BE}{CE} = \frac{AB^{2}}{AC^{2}} .

2.4. Dany jest trójk _{}at ABC i punkt P w jego wn_{}etrzu. Proste AP, BP, CP przcinaj _{}a boki trójk _{}ata ABC odpowiednio w punktach A_{1}, B_{1}, C_{1}.Udowodnić, że proste przechodz _{}ace odpowiednio przez środki boków BC, AC i AB oraz równoległe odpowiednio do AP, BP i CP, przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

2.5. Z wierzchołka C k _{}ata prostego trók _{}ata ABC poprowadzono wysokość CK, a w trójk _{}acie ACK poprowadzono dwusieczn _{}a CE. Prosta przechodz _{}aca przez punkt B, równoległa do CE przecina prost _{}a CK w punkcie F. Udowodnić, źe prosta EF dzieli odcinek AC na połowy.

2.6. Wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC leży punkt P. Proste AP, BP, CP przecnaj _{}a boki trójk _{}ata odpowiednio w punktach K, L, M. Wykazać, że \frac{AP}{P K} = \frac{AL}{LC} + \frac{AM}{MB} .

2.7. Punkty D i E leż _{}a odpowiednio na bokach BC i CA trójk _{}ata ABC, przy czym BD = AE. Odcinki AD i BE przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Dwusieczna kata ACB przecina odcinki AD i BE odpowiednio w punktach Q i R. Wykazać, że \frac{P Q}{AD} = \frac{P R}{BE}.