KÓŁECZKO Z CEVY I MENELAOSA (17.10.2007)

1. TEORIA

1.0.Twierdzenie o dwusiecznej Niech AD b_{}edzie dwusieczn _{}a w trójk _{}acie ABC. Wtedy \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}.

1.1.Twierdzenie Cevy Niech punkty X, Y, Z leż _{}a odpowienio na bokach BC, AC i AB trójk _{}ata ABC. Wtedy

proste AX, BY, CZ przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy gdy \frac{AZ}{BZ} · \frac{BX}{CX} · \frac{CY}{AY} = 1.

1.2.Twierdzenie Menelaosa Niech punkty Z i Y leż _{}a odpowiednio na bokach AC i BC trójk _{}ata ABC, a punkt X

na przedłużeniu boku AB. Wtedy punkty X, Y, Z s _{}a współliniowe wtedy i tylko wtedy gdy \frac{AX}{XB} · \frac{BY}{Y C} · \frac{CZ}{ZA} = 1.

2. ZADANKA 2.1. Korzystaj _{}ac z twierdzenia Cevy udowodnić że w trójk _{}acie ostrok _{}atnym w jednym punk-

cie przecinaj _{}a si_{}e: środkowe; dwusieczne; wysokości.

2.2. Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do jego boków AB, BC, CA odpowiednio w punktach F, D, E. Udowodnić, że proste AD, BE, CF przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

2.3. Punkt P leży wewn _{}atrz trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC. Proste AP, BP, CP przecinaj _{}a boki tego trójk _{}ata odpowiednio w punktach A_{1}, B_{1}, C_{1}. Proste A_{1}B_{1} i A_{1}C_{1} przecinaj _{}a prost _{}a przechodz _{}ac _{}a przez A i równoległ _{}a do BC odpowiednio w punktach C_{2} i B_{2}. Wykazać, że AB_{2} = AC_{2}.

2.4. AD jest dwusieczn _{}a w trójk _{}acie ABC, a jej symetralna przecina prost _{}a BC w punkcie E. Wykazać, że \frac{BE}{CE} = (\frac{AB}{AC})^{2}.

2.5. Z wierzchołka C k _{}ata prostego trójk _{}ata ABC poprowadzono wysokość CK i dwusieczn _{}a CE. Prosta przechodz _{}aca przez B i równoległa do prostej CE przecina prost _{}a CK w punkcie F. Wykazać, że prosta EF dzieli odcinek AC na połowy.

2.6. Wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC leży punkt P. Proste AP, BP, CP przecnaj _{}a boki trójk _{}ata odpowiednio w punktach K, L, M. Wykazać, że \frac{AP}{P K} = \frac{AL}{LC} + \frac{AM}{MB} .

2.7. Dane s _{}a trzy okr_{}egi rozł _{}aczne zewn_{}etrznie okr_{}egi o_{1}, o_{2}, o_{3} o środkach odpowiednio O_{1}, O_{2}, O_{3}. Dwie spośród stycznych do obu okr_{}egów o_{2} i o_{3} przecinaj _{}a si_{}e w punkcie A_{1}, leż _{}acym na odcinku O_{2}O_{3}. Analogicznie definiujemy punkty A_{2} i A_{3}. Udowodnić, że proste O_{1}A_{1}, O_{2}A_{2}, O_{3}A_{3} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.