KÓŁECZKO Z BRIANCHONA I PASCALA (16.01.08)

1. TEORIA

1.1. Twierdzenie Brianchona W dowolnym sześciok _{}acie 123456 opisanym na dowolnej stożkowej, czyli np. okr_{}egu (s _{}a do niej styczne odcinki 12, 23, 34, 45, 56, 61) jego główne przek _{}atne (14, 25 i 36) przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie lub s _{}a równoległe. Twierdzenie Brianchona jest prawdziwe również dla sześciok _{}atów zdegenerownych do pi_{}eciok _{}atów i czworok _{}atów.

1.2. Twierdzenie Pascala Dla dowolnych sześciu punktów 1, 2, 3, 4, 5, 6 leż _{}acych na jednej stożkowej (mog _{}a si_{}e pokrywać), punkty przeci_{}ecia prostych 12 i 45, prostych 23 i 56 oraz prostych 34 i 61 (jeśli istniej _{}a) leż _{}a na jednej prostej.

2. ZADANIA

2.1. Dany jest czworok _{}at ABCD opisany na okr_{}egu. Boki AB, BC, CD, DA s _{}a styczne do tego okr_{}egu odpowiednio w punktach W, X, Y, Z. Wykazać, że proste AC, BD, W Y i XZ przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

2.2. Dany jest czworok _{}at ABCD wpisany w okr _{}ag oraz dowolny punkt X leż _{}acy w jego wn_{}etrzu. Proste AX i DX przecinaj _{}a ten okr _{}ag w punktach odpowiednio M i N (różnych od A i D). Punkty E i F to odpowiednio punkty przeci_{}ecia prostych AM i CD oraz DN i AB. Udowodnić, że punkt przeci_{}ecia prostych MN i EF leży na prostej BC.

2.3. Dany jest trójk _{}at ABC. Rozpatrujemy wszystkie pary trójk _{}atów ABX i ACY zbudowanych na zewn _{}atrz trójk _{}ata ABC, że ∠XAB = ∠XAC = 30^{∘} oraz ∠ABX = 180^{∘} − ∠ACY. Wykazać, że wszystkie proste XY odpowiadaj _{}ace różnym parom takich trójk _{}atów przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

2.4. Okr _{}ag o środku I, wpisany w trójk _{}at ABC, jest styczny do boków BC i AC odpowiednio w punktach D i E. Punkt M jest środkiem boku AB. Odcinki DE i CM przecinaj _{}a si_{}e w punkcie S. Wykazać, że proste AB oraz IS s _{}a prostopadłe.

2.5. Dany jest trójk _{}at ABC w którym AB = AC. Na bokach AB i AC obrano odpowiednio takie punkty P i Q, że w czworok _{}at BCQP można wpisać okr _{}ag. Punkt Z jest punktem styczności odcinka P Q do tego okr_{}egu. Punkt X jest przeci_{}eciem prostych BQ i CP. Prosta AX przecina odcinek BC w punkcie Y. Udowodnić, że \frac{P Z}{P B} + \frac{QZ}{QC} = \frac{AX}{AY}.

2.6. Dany jest trójk _{}at ABC, w którym BC = AC. Punkty P i Q leża wewn _{}atrz tego trójkata i spełniaj _{}a zależności: ∠P AC = ∠QBA oraz ∠P BC = ∠QAB. Dowieść, że punkty C, P i Q leża na jednej prostej.