Dwustosunki i biegunowe

teoria do zadania 11. wtorek, 14 grudnia 2004

I. Arsenał

1. Twierdzenie Menelausa (Menelaosa, jak kto woli) Na płaszczźnie dane s _{}a trzy proste k, l, m przecinaj _{}ace si_{}e w punktach A, B, C odpowiednio:

k z l, l z m i k z m. Na tych prostych obrano także odpowiednio punkty X, Y, Z. Wówczas te punkty s _{}a współliniowe wtw. gdy zachodzi stosunek:

\frac{AX}{XC} · \frac{CZ}{ZB} · \frac{BY}{Y A} = 1

oraz liczba punktów X, Y, Z leż _{}acych wewn _{}atrz odcinków AB, BC, AC jest parzysta.

2. Twierdzenie Cevy Na bokach trójk _{}ata ABC obrano odpowiednio punkty: X na BC, Y na AC oraz Z na AB.

Wówczas proste AX, BY, CZ przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie wtw., gdy zachodzi warunek:

\frac{BX}{XC} · \frac{CY}{Y A}· \frac{AZ}{ZB} = 1

3. Twierdzenie Brianchona Główne przek _{}atne sześciok _{}ata opisanego na stożkowej przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

4. Twierdzenie Sinusów Niech ABC b_{}edzie trójk _{}atem o standardowych oznaczeniach: jego k _{}aty przy wierzchołkach

A,B,C maj _{}a miary odpowiednio α, β, γ, zaś boki naprzeciw nich długości a, b i c. Niech promień okr_{}egu opisanego na ABC wynosi R. Wówczas zachodzi:

\frac{a}{sinα} = \frac{b}{sinβ} = \frac{c}{sinγ} = 2R

II. Dwustosunek

Dwustosunkiem punktów (A, C; B, D) na prostej nazywamy stosunek:

(A, C; B, D) = \frac{\frac{AB}{BC}}{\frac{AD}{DC}}

Gdy dwustosunek czterech punktów na prostej jest równy 1 to mówimy, że czwórka ta jest sprz_{}eżona harmonicznie.

III. Zadanka

1.Dany jest trójk _{}at nierównoramienny ABC i punkt D na boku BC. Rozważamy wszystkie pary punktów K i L na odpowiednio leż _{}acych na bokach AC i AB, że BK i CL przecinaj _{}a si_{}e na odcinku AD. Pokazać, że wszystkie proste KL dla rozważanych par punktów s _{}a współp_{}ekowe.

2.Udowodnić, że konstrukcja sprz_{}eżenia harmonicznego jest prawidłowa bez używania Cevy i Menelausa, ale tylko z pomoc _{}a rzutowania dwustosunków.

3. Na płaszczyźnie dany jest okr _{}ag i punkt A. Skonstruować za pomoc _{}a samej linijki styczne do tego okr_{}egu przechodz _{}ace przez punkt A.

4. (II etap, XLVII OM)Okr _{}ag o środku w O wpisany w czworok _{}at ABCD styczny jest do boków AB, BC, CD, AD odpowiednio w punktach K, L, M, N, przy czym proste KL i MN przecinaj _{}a si_{}e w punkcie S. Pokazać, że proste BD i OS s _{}a prostopadłe.

5. (IV WM) W okr_{}egu ω dana jest ci_{}eciwa CE nieb_{}ed _{}aca średnic _{}a. Punkt D jest środkiem krótszego łuku CE, odcinek KD zaś jest średnic _{}a okr_{}egu ω. Punkty A i B należ _{}a odpowiednio do odcinków KE i KC. F jest takim punktem na odcinku AB, że \frac{|BF |}{|AF |} = \frac{|BC|}{|AE|}. Udowodnić, że |∡F CE| = |∡ADE|.

11. (I etap, LVI OM) Okr _{}ag o środku I jest wpisany w czworok _{}at wypukły ABCD, przy czym punkt I nie leży na prostej AC. Przek _{}atne AC i BD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie E. Prosta przechodz _{}aca przez punkt E oraz prostopadła do prostej BD przecina proste AI, CI odpowiednio w punktach P, Q. Wykazać, że P E = EQ.