Zadania z Baltic Way’ów

Zadanie 1. Znaleźć wszystkie funkcje f : N → N takie, że dla wszystkich x, y ∈ N zachodzi

f(x, x) = x
f(x, y) = f(y, x)
(x + y)f(x, y) = yf(x, x + y)

Zadanie 2. Ci _{}ag {x_{n}}_{n 0} definiujemy w nast_{}epuj _{}acy sposób: x_{0} = a,x_{1} = 2,x_{n} = 2x_{n−1} x_{n−2} − x_{n−1} − x_{n−2} + 1. Znaleźć wszystkie takie a ∈ Z, że 2x_{3n} − 1 jest kwadratem dla każdego n 1.

Zadanie 3. Niech p b_{}edzie liczb _{}a pierwsz _{}a, a n- liczb _{}a naturaln _{}a. Niech q b_{}edzie dodatnim dzielnikiem liczby (n + 1)^{p} − n^{p}. Pokazać, re q − 1 jest podzielne przez p.

Zadanie 4. Punkty A, B, C, D, E leż _{}a w tej właśnie kolejności na prostej, przy czym AB = BC = CD = DE. Punkt F leży poza t _{}a prost _{}a. Niech G i H b_{}ed _{}a środkami okr_{}egów opisanych na trójk _{}atach ADF i BEF. Pokazać, że proste F C i GH s _{}a prostopadłe.

Zadanie 5. W pi_{}eciok _{}acie wypukłym ABCDE mamy AE||BC oraz ∠ADE = ∠BDC. Niech P b_{}edzie punktem przeci_{}ecia si_{}e AC i BE. Pokazać, że ∠EAD = ∠BDP oraz ∠CBD = ∠ADP.

Zadanie 6. Danych jest 2n kart. Na każdej napisana jest liczba rzeczywista 1 x 2. Udowodnić, że karty można podzielić na dwa stosy o sumach s_{1} i s_{2} takie, że

\frac{n}{n + 1} \frac{s1}{s2} 1

Zadanie 7. Niech a, b, c ∈ R^{+} . Pokazać, że

\frac{2a}{a^{2} + bc} + \frac{2b}{b^{2} + ac} + \frac{2c}{c^{2} + ab} \frac{a}{bc} + \frac{b}{ac} + \frac{c}{ab}