Bajeczki

25.02.2009

1. Podać kombinatoryczne uzasadnienie tożsamości:

∑_{i=0}^{n} \binom{n}{k} ^{2} = \binom{2n}{n} .

2. Dla n 3 podać kombinatoryczne uzasadnienie tożsamości:

\binom{3n}{3} = n^{3} + 6\binom{n}{2} \binom{n}{1} + 3\binom{n}{3} .

3. Podać kombinatoryczne uzasadnienie tożsamości:

∑_{i=k}^{n} \binom{n}{i} \binom{i}{k} = 2^{n−k} \binom{n}{k} .

4. Podać kombinatoryczne uzasadnienie tożsamości:

∑_{i=0}^{n} 5^{n−i} \binom{n}{i} = 6^{n}.

5. Na ile sposobów można przedstawić liczbę naturaln _{}a j w postaci k nieujemnych składników całkowitych:

j = x_{1} + x_{2} + … + x_{k} ?

0 + 1 i 1 + 0 to dwa różne przedstawienia.

6. Podać kombinatoryczne uzasadnienie tożsamości:

∑_{k=0}^{n} k(n + 1 − k) = \binom{n + 2}{3} .

7. Podać kombinatoryczne uzasadnienie tożsamości:

∑_{i=0}^{k} \binom{n − i}{k − i} = \binom{n + 1}{k} .