Bajery

1. Ci _{}agi a_{n} i b_{n} spełniaj _{}a zależności:

a_{0} = \frac{3}{5}, b_{0} = \frac{4}{5}

a_{n} = a_{n−1} b_{n−1}

b_{n} = \frac{b_{n−1}^{2} −a_{n−1}^{2}}{2}

dla n 1. Pokazać, że dla każdego k całkowitego nieujemnego zachodzi |a_{k}| + |b_{k}| \frac{1}{2^{2^{k} −1}} .

2. Na tablicy napisano liczby 0, 1, \sqrt{2}. W jednym ruchu można do dowolnej z nich dodać różnic_{}e dwóch pozostałych. Rozstrzygn _{}ac, czy można w ten sposób uzyskać trójk_{}e (nieuporz _{}adkowan _{}a) 0, 2, \sqrt{2}.

3. Wyznaczyć wszystkie wartości wyrażenia 5ab+3bc+4ac dla liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c spełniaj _{}acych równości:

\{ \begin{matrix}a^{2} + b^{2} = 9 \\ 5a^{2} + 5c^{2} + 6ac = 80 \\ 5b^{2} + 5c^{2} + 8bc = 125 \end{matrix} .

4. Liczby m, n s _{}a całkowite dodatnie zaś x, y rzeczywiste nieujemne, sumuj _{}ace si_{}e do 1. Pokazać, że zachodzi nierówność:

(1 − x^{m})^{n} + (1 − y^{n})^{m} 1

5. Oblicz ∑ _{i=0}^{n} \binom{3n}{3i}.

6. Rozstrzygn _{}ać, czy istniej _{}a takie liczby całkowite dodatnie a, b, by liczba a^{2} + ab^{3} była sześcianem liczby całkowitej.