Argentyna, czyli nietrudna teoria liczb

07.01.2010

1. Rozwi _{}azać w liczbach całkowitych dodatnich równanie:

xy + yz + zx − xyz = 2.

2. Niech d będzie dodatni _{}a liczb _{}a całkowit _{}a różn _{}a od 2, 5 i 13. Wykazać, że ze zbioru {2, 5, 13, d} można wybrać takie różne liczby a i b, że liczba ab − 1 nie jest kwadratem liczby naturalnej.

3. Znaleźć wszystkie takie dodatnie liczby całkowite x i y, by liczba \frac{xy^{2}}{x+y} była pierwsza.

4. Okr _{}ag ω wpisany w trójk _{}at równoramienny ABC (AC = BC) jest styczny do BC punkcie E. Różna od AE prosta przechodz _{}aca przez A przecina ω w dwóch różnych punktach F i G. Proste EF i EG przecinaj _{}a prost _{}a AB odpowiednio w punktach K i L. Wykazać, że AK = BL.