Asian - Pacific

1. Liczby dodatnie x_{1}, x_{2}, …, x_{n} sumuj _{}a si_{}e do S. Pokazać, że:

(1 + x_{1})(1 + x_{2}) …(1 + x_{n}) 1 + S + \frac{S^{2}}{2!} + \frac{S^{3}}{3!} + … + \frac{S^{n}}{n!}

.

2. Liczby dodatnie a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, b_{1}, b_{2}, …, b_{n} spełniaj _{}a ∑ _{i=1}^{n} a_{i} = ∑ _{i=1}^{n} b_{i} = 1. Pokazać, że:

\frac{a_{1}^{2}}{a_{1} + b_{1}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{2} + b_{2}} + … + \frac{a_{n}^{2}}{a_{n} + b_{n}} \frac{1}{2}

3. Pokazać, że dla liczb dodatnich a, b, c spełniona jest nierówność:

(1 + \frac{a}{b})(1 + \frac{b}{c})(1 + \frac{c}{a}) 2(1 + \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}} )

4. Ci _{}ag liczb rzeczywistych a_{1}, a_{2}, …, a_{n} dla każdych indeksów i, j spełnia a_{i+j} a_{i} + a_{j}. Pokazać, że dla każdego całkowitego dodatniego n zachodzi:

a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + … + \frac{a_{n}}{n} a_{n}

5. Okr_{}egi C_{1} i C_{2} o środkach odpowiednio O_{1}, O_{2} s _{}a styczne zewn_{}etrznie w A oraz wewn_{}etrznie w odpowiednio A_{1}, A_{2} do okr_{}egu C o środku w O. Pokazać, że proste OA, O_{1}A_{2}, O_{2}A_{1} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

6. Znaleźć najmniejsz _{}a liczb_{}e k dla której istnieje funkcja f : ℤ −→ {1, 2, …, k}, że f(x) ≠ f(y) dla |x − y| ∈ {5, 7, 12}.

7. Rozstrzygn _{}ać, czy istniej _{}a takie a, b całkowite dodatnie, że liczba (36a + b)(a + 36b) jest pot_{}eg _{}a 2.