KÓŁECZKO Z OKR _{}EGU APOLONIUSZA I PROSTEJ SIMPSONA (19.03.2008)

1. TEORIA

1.1. Dla ustalonych punktów A, B oraz dodatniej liczby α ≠ 1 zbiór wszystkich punktów P takich że \frac{AP}{P B} = α jest okr_{}egiem (zwanym okr_{}egiem Apoloniusza).

1.2. Rzuty prostok _{}atne punktu D na boki trójk _{}ata ABC leż _{}a na jednej prostej wtedy i tylko wtedy gdy punkt D leży na okr_{}egu opisanym na ABC.

2. ZADANIA

2.1. Na okr_{}egu o środku O i promieniu R obrano punkty A i D. Na półprostej OD leż _{}a takie dwa punkty B i C, że OB · OC = R^{2}. Wykazać, że półprosta AD jest dwusieczn _{}a k _{}ata BAC.

2.2. W czworok _{}acie ABCD miara k _{}ata wewn_{}etrznego przy wierzchołku A jest wi_{}eksza od 180^{∘} oraz zachodzi równość AB · CD = AD · BC. Punkt P jest symetryczny do punktu A wzgl_{}edem prostej BD. Udowodnić, że k _{}aty P CB i ACD s _{}a równe.

2.3. Dane s _{}a proste k i l oraz punkty A, D, B leż _{}ace na prostej k w tej właśnie kolejności. Skonstuować taki punkt C na prostej l, by DL była dwusieczn _{}a k _{}ata ACB.

2.4. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC punkty D i E s _{}a spodkami wysokości z A i B. Zbudowano prostok _{}at EW DU taki, że dwa z jego boków zawieraj _{}a si_{}e w prostej BC i wysokości spuszczonej z A. Prosta UW przecina bok AB w punkcie P. Pokazać, że proste EP i AB s _{}a prostopadłe.

2.5. Dany jest trójk _{}at ABC oraz punkt X na zewn _{}atrz niego i zawarty w k _{}acie ABC taki, że punkt P - rzut X na prost _{}a AB - leży na zewn _{}atrz odcinka AB, zaś Q - rzut X na prost _{}a BC leży wewn _{}atrz odcinka BC. Niech R b_{}edzie przeci_{}eciem prostych AC i P Q. Pokazać, że proste AC i XR s _{}a prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy trójk _{}aty XP A i XQC s _{}a podobne.

2.6. Prostok _{}at A_{1}A_{5}A_{6}A_{2} podzielono odcinkiem A_{3}A_{4} na dwa prostok _{}aty tak, że A_{3} leży na odcinku A_{1}A_{5} zaś A_{4} na odcinku A_{2}A_{6}. Nast_{}epnie prostok _{}at A_{3}A_{4}A_{6}A_{5} podzielono na dwa prostok _{}aty odcinkiem XY, tak że X leży na odcinku A_{5}A_{6} zaś Y na A_{3}A_{4}. Niech Q, P b_{}ed _{}a rzutami punktu X na proste A_{3}A_{2} oraz A_{1}A_{4} odpowiednio. Pokazać, że punkty A_{5}, Y, P s _{}a współliniowe wtedy i tylko wtedy gdy punkty A_{6}, Y, Q s _{}a współliniowe.

2.7. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag. Punkty P, Q, R s _{}a rzutami punktu D odpowiednio na boki BC, AC, AB. Pokazać, że P Q = QR wtedy i tylko wtedy gdy dwusiecznie k _{}atów ABC i ADC przecinaja sie na odcinku AC.