Okr _{}ag Apoloniusza i nierówności z polami

1. Na okr_{}egu o środku w O i promieniu R obrano punkty A i D. Na półprostej OD obrano punkty B,C, takie, że OB · OC = R^{2}. Pokazać, że prosta AD jest dwusieczn _{}a k _{}ata BAC.

2. W trójk _{}acie ABC niech D b_{}edzie punktem przeci_{}ecia dwusiecznej k _{}ata C z bokiem AB. Przez P oznaczmy pole trójk _{}ata ABC. Udowodnić, że zachodzi nierówność

2P (\frac{1}{AD} − \frac{1}{BD}) AB

.

3. W czworok _{}acie ABCD miara k _{}ata wewn_{}etrznego przy wierzchołku A jest wi_{}eksza od 180^{∘} oraz zachodzi równość AB · CD = AD · BC. Punkt P jest symetryczny do punktu A wzgl_{}edem prostej BD. Udowodnić, że ∠P CB = ∠ACD.

4. Dane s _{}a prosta k i l oraz punkty A, D, B na prostej k leż _{}ace w tej właśnie kolejności nań. Skonstruować taki punkt C na prostej l, by DL była dwusieczn _{}a k _{}ata ∠ACB.

5. Trójk _{}at ma boki a, b, c oraz pole S. Pokazać, że:

a^{2} + b^{2} + c^{2} 4\sqrt{3}S

.

6. Trójk _{}at ma boki a, b, c oraz promień okr_{}egu wpisanego r. Pokazać, że:

\sqrt{ab + bc + ca} 6r

.

7. Trójk _{}at ma boki a, b, c oraz promień okr_{}egu opisanego R. Pokazać, że:

R \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}

.