Zadania trudniejsze na kółko 21.01.2010

15.10.2009

1. Zbiór S liczb naturalnych jest zdefiniowany nast_{}epuj _{}aca:

1. Jeśli a ∈ S to wszystkie dzielniki a również należ _{}a do S

2. Jeśli 1 < a < b oraz a, b ∈ S to 1 + ab ∈ S

Udowodnij, że jeśli do S należ _{}a trzy różne liczby naturalne to S = ℕ

2. Macierz n x n, z wyrazami należ _{}acymi do zbioru {1, 2 …, 2n - 1}, nazywamy pseudomacierz _{}a Rzeszuta, jeśli dla każdego i ∈ {1, 2 …, n} poł _{}aczenie zbioru wyrazów i-tego wiersza oraz zbioru wyrazów i-tej kolumny zawiera 2n - 1 różnych liczb. Pokaż, że nie istnieje macierz pseudorzeszuta dla n = 1997. Udowodnij, że pseudomacierz Rzeszuta istnieje dla nieskończenie wielu n.