Ci _{}agi i geometria

17.12.2009r.

1. Znajdź wszystkie a takie, że w ci _{}agu f_{n} (f_{1} = 0,f_{2} = a ∈ ℝ,f_{n} =-2f_{n−1} -f_{n−2} dla n 3) wyst_{}epuje wi_{}ecej niż jedno zero.

2. Pokaż, że w ci _{}agu a_{n} (a_{n+1} = a_{n}^{3} + 1999 dla n ∈ ℕ) wyst_{}epuje co najwyżej jeden kwadrat.

3. Niech a i b b_{}ed _{}a dwoma wzgl_{}ednie pierwszymi liczbami całkowitymi. Udowodnij, że istnieje nieskończony zbiór, zawieraj _{}acy parami wzgl_{}ednie pierwsze wyrazy ci _{}agu arytmetycznego a, a + b, a + 2b, . . ..

4. Niech A, B, C, D b_{}ed _{}a różnymi punktami na prostej (w tej kolejności). Okr_{}egi o średnicy AC i BD przecinaj _{}a si_{}e w punktach X i Y. Niech O b_{}edzie dowolnym punktem na prostej XY, ale nie na AD. CO przecina okr _{}ag ze średnic _{}a AC ponownie w M oraz BO przecina drugi okr _{}ag ponownie w N. Udowodnij, że proste AM, DN, XY s _{}a współp_{}ekowe.