Szkolna Liga Zadaniowa

Seria I

1. Znaleźć wszystkie pierwiastki rzeczywiste równania

(x + 1995)(x + 1997)(x + 1999)(x + 2001) + 16 = 0

2. Dwa okr_{}egi s _{}a styczne zewn_{}etrznie w punkcie B. Styczna do jednego z nich punkcie A przecina drugi okr _{}ag w punktach C oraz D. Udowodnić, że punkt A jest równoodległy od prostych BC i BD.

3. Udowodnić, że dla dowolnych a, b, c > 0 zachodzi:

\frac{1}{a(b + 1)} + \frac{1}{b(c + 1)} + \frac{1}{c(a + 1)} \frac{3 ( \sqrt[3]{abc}+ \frac{1}{\sqrt[3]{abc}} − 1)}{1 + abc}

4. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag. Niech L i M b_{}ed _{}a środkami okr_{}egów wpisanych w trójk _{}aty BCA i BCD. Prostopadłe poprowadzone z L i M na – odpowiednio – proste AC i BD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie R. Udowodnić, że trójk _{}at LMR jest równoramienny.

5. Czy przestrzeń trójwymiarow _{}a da si_{}e podzielić na 2008 przystaj _{}acych cz_{}eści?

6. Liczba 9 jest sum _{}a dwóch kolejnych liczb naturalnych: 9 = 4 + 5. Jednocześnie może być przedstawiona jako suma (dwóch lub wi_{}ecej) kolejnych liczb na dokładnie dwa sposoby: 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4. Czy istnieje taka liczba naturalna, która da si_{}e zapisać jako suma 2230 kolejnych liczb, a jednocześnie można j _{}a przedstawić jako sum_{}e kolejnych liczb na dokładnie 2230 sposobów?