Kółko 8 XI 2004 - kilka zadanek z wielomianów

1. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych takim, że zarówno równanie P (x) = 1, jak i równanie P (x) = 3, ma co najmniej jedno rozwi _{}azanie całkowite. Rozstrzygnij, czy równanie P (x) = 2 może mieć dwa różne rozwi _{}azanie całkowite.

2. Dany jest wielomian całkowitoliczbowy P (x), taki, że 3 | P (7) oraz 7 | P (3). Wykaż, że 21 | P (10).

3. Dana jest liczba naturalna n 2. Wyznaczyć wszystkie wielomiany P (x) = a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n} maj _{}ace dokładnie n pierwiastków nie wi_{}ekszych niż −1 oraz spełniaj _{}ace warunek

a_{0}^{2} + a_{1}a_{n} = a_{n}^{2} + a_{0}a_{n−1} .

4. Liczby rzeczywiste x_{1}, x_{2}, …, x_{1996} maj _{}a nast_{}epuj _{}ac _{}a własność: dla dowolnego wielomianu W (x) stopnia 2 co najmniej trzy spośród liczb W (x_{1}), W (x_{2}), …, W (x_{1996}) s _{}a równe. Udowodnić, że co najmniej trzy spośród liczb x_{1}, x_{2}, …, x_{1996} s _{}a równe.

5. Niech P (x) i Q(x) b_{}ed _{}a wielomianami o współczynnikach całkowitych. Przypuśćmy, że liczby całkowite k oraz k + 1997 s _{}a pierwiastkami P (x) oraz Q(1998) = 2000. Wykaż, że równanie Q(P (x)) = 1 nie ma rozwi _{}azań w liczbach całkowitych.

6. Wielomian W (x) stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla całkowitych x wartości b_{}ed _{}ace kwadratami liczb całkowitych. Dowieść, że wielomian W (x) jest kwadratem pewnego wielomianu.

7. Rozstrzygnij, czy każdy wielomian o współczynnikach całkowitych daje si_{}e przedstawić jako suma trzecich pot_{}eg wielomianów o współczynnikach wymiernych.

8. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeżeli wielomian P (x) w co najmniej sześciu różnych liczbach całkowitych przyjmuje wartość 12, to nie ma on pierwiastków całkowitych.

9. Wyznacz wszystkie wielomiany P (x) spełniaj _{}ace dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y równość

P (x^{2} − y^{2}) = P (x + y)P (x − y).

10. Znajdź wszystkie wielomiany P (x) spełniaj _{}ace dla wszystkich x ∈ ℝ równość

xP (x − 1) = (x − 2)P (x).